Suites vectorielles

Une suite de vecteurs $\vec{u}_{n+1} = A\vec{u}_n$ est définie par l’itération de la matrice $A$ .

$\vec{u}_n = A^n \vec{u}_0$

Application : Modèles de population, évolution de systèmes discrets.

Exemple fondamental

Soit $\vec{u}_n = \begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$ avec $A = \begin{pmatrix}0{,}8 & 0{,}2\\0{,}1 & 0{,}9\end{pmatrix}$ et $\vec{u}_0 = \begin{pmatrix}100\\0\end{pmatrix}$ .

$\vec{u}_1 = A\vec{u}_0 = \begin{pmatrix}80\\10\end{pmatrix}$

Pour calculer $\vec{u}_n$ , on cherche à diagonaliser $A$ .

Diagonalisation (cas simple)

Si $A$ admet deux valeurs propres $\lambda_1, \lambda_2$ distinctes avec vecteurs propres $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ :

$A = PDP^{-1} \quad \text{où } D = \begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}$

$A^n = PD^nP^{-1} \quad \text{avec } D^n = \begin{pmatrix}\lambda_1^n&0\\0&\lambda_2^n\end{pmatrix}$

Valeurs propres

$\lambda$ est valeur propre de $A$ si $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$ pour un vecteur $\vec{v} \neq \vec{0}$ (vecteur propre).

Calcul : $\lambda$ est valeur propre $\iff \det(A - \lambda I) = 0$ (équation caractéristique).

Pour $2\times2$ :

$\det(A - \lambda I) = (a-\lambda)(d-\lambda) - bc = \lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A)$

Exemple complet

$A = \begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$

Équation caractéristique : $\lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0 \implies \lambda_1 = 2,\; \lambda_2 = 4$

Vecteurs propres : $\lambda_1=2$ → $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ ; $\lambda_2=4$ → $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$

$A^n = P\begin{pmatrix}2^n&0\\0&4^n\end{pmatrix}P^{-1}$

Application aux suites récurrentes d’ordre 2

$u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$ se ramène à $\vec{U}_{n+1} = M\vec{U}_n$ avec $\vec{U}_n = \binom{u_{n+1}}{u_n}$ et $M = \begin{pmatrix}a&b\\1&0\end{pmatrix}$ .