Définition

Une matrice $A$ de taille $m \times n$ est un tableau de $mn$ réels :

$A = (a_{ij})_{1 \leq i \leq m,\, 1 \leq j \leq n}$

Matrices particulières :

Carrée : $m = n$
Identité $I_n$ : diagonale de 1, reste nul
Nulle $0$ : tous les coefficients sont 0

Opérations

Addition (même taille) : $(A+B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

Multiplication par un scalaire : $(\lambda A)_{ij} = \lambda a_{ij}$

Produit $AB$ (si $A$ est $m \times p$ et $B$ est $p \times n$ ) :

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj}$

Le produit matriciel est non commutatif : en général $AB \neq BA$ .

Propriétés du produit

$A(BC) = (AB)C \qquad A(B+C) = AB + AC$

$AI_n = I_m A = A \qquad A \cdot 0 = 0$

Puissances d’une matrice

$A^0 = I \qquad A^{n+1} = A^n \cdot A$

Exemples :

$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$ (à vérifier par récurrence)

Matrice inverse

$A$ est inversible si $\exists B$ tel que $AB = BA = I$ .

Pour une matrice $2\times 2$ : $A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$

$\det(A) = ad - bc \qquad A^{-1} = \frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} \quad (\text{si } \det A \neq 0)$

Application aux systèmes linéaires

Le système $\begin{cases} ax+by=e \\ cx+dy=f \end{cases}$ s’écrit $A\vec{x} = \vec{b}$ .

Si $A$ est inversible : $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$ .

Exemple : $\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\10\end{pmatrix}$

$\det = 5$ , $A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}3&-1\\-1&2\end{pmatrix}$ , $\vec{x} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}5\\15\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$