Équation du second degré dans ℂ

$az^2 + bz + c = 0$ ( $a \neq 0$ , $a,b,c \in \mathbb{C}$ ) admet toujours deux solutions dans $\mathbb{C}$ :

$z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

où $\sqrt{\Delta}$ est une racine carrée complexe de $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Si $\Delta = -d^2$ ( $d > 0$ ), les deux racines sont complexes conjuguées :

$z = \frac{-b \pm i\sqrt{d^2}}{2a} = \frac{-b \pm id}{2a}$

Exemple : $z^2 - 2z + 5 = 0$

$\Delta = 4 - 20 = -16 = -(4i)^2$

$z = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$

Racine carrée d’un complexe

Pour trouver $\sqrt{a+ib}$ , chercher $x+iy$ tel que $(x+iy)^2 = a+ib$ :

$\begin{cases} x^2 - y^2 = a \\ 2xy = b \\ x^2 + y^2 = |a+ib| \end{cases}$

Exemple : $\sqrt{3+4i}$

$x^2 + y^2 = 5$ et $x^2 - y^2 = 3$ → $x^2 = 4$ , $y^2 = 1$ . Avec $2xy = 4 > 0$ → $x, y$ même signe.

$\sqrt{3+4i} = 2+i$ ou $-(2+i)$ .

Tout polynôme de degré $n \geq 1$ à coefficients complexes admet exactement $n$ racines complexes (comptées avec multiplicité).

Les solutions de $z^n = \rho e^{i\varphi}$ ( $\rho > 0$ ) sont :

$z_k = \rho^{1/n}\,e^{i(\varphi + 2k\pi)/n} \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$

Exemple : $z^3 = 8$ ( $\rho = 8$ , $\varphi = 0$ )

$z_k = 2\,e^{2ik\pi/3} : \quad z_0 = 2,\quad z_1 = 2e^{2i\pi/3},\quad z_2 = 2e^{4i\pi/3}$

Pour $az^2 + bz + c = 0$ de racines $z_1, z_2$ :

$z_1 + z_2 = -\frac{b}{a} \qquad z_1 z_2 = \frac{c}{a}$

Factorisation : $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)$