Cercle unité et formule d’Euler

Argument d’un nombre complexe

Pour $z = a + ib \neq 0$ , l’argument $\theta = \arg(z)$ est l’angle (modulo $2\pi$ ) tel que :

$a = |z|\cos\theta \qquad b = |z|\sin\theta$

Propriétés :

$\arg(zz') = \arg z + \arg z' \pmod{2\pi}$

$\arg\!\left(\frac{z}{z'}\right) = \arg z - \arg z' \qquad \arg(z^n) = n\arg z$

$z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$

Exemple : $z = 1 + i$

$|z| = \sqrt{2}$ , $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$

$z = \sqrt{2}\!\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$

$\boxed{e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta}$

Donc : $z = |z|\,e^{i\theta}$

Formule d’Euler :

$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

Cas particuliers :

$e^{i\pi} = -1 \quad \text{(identité d'Euler)} \qquad e^{i\pi/2} = i$

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

Soit : $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$

Application — Linéarisation :

$(\cos\theta + i\sin\theta)^2 = \cos^2\theta - \sin^2\theta + 2i\sin\theta\cos\theta$

Donc : $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ et $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$

Les racines $n$ -ièmes de 1 sont les $n$ solutions de $z^n = 1$ :

$z_k = e^{2ik\pi/n} = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n} \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$

Elles forment un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité.

Exemple ( $n=4$ ) : $z^4 = 1$ → $z \in \{1, i, -1, -i\}$

Exemple : Calculer $(1+i)^{10}$ .

$1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ , donc $(1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} e^{i10\pi/4} = 32\,e^{i5\pi/2} = 32\,e^{i\pi/2} = 32i$