Illustration — Translation et rotation dans le plan complexe

Plan complexe

On identifie $\mathbb{C}$ au plan muni d’un repère orthonormé. Le point $M$ d’affixe $z = a + ib$ a pour coordonnées $(a, b)$ .

Module $=$ distance à l’origine : $|z| = OM$
Argument $=$ angle avec l’axe réel

Distance entre deux points

$|z_B - z_A| = AB$

Milieu de $[AB]$ : affixe $\dfrac{z_A + z_B}{2}$

Transformations

Translation

La translation de vecteur d’affixe $w$ : $z \mapsto z + w$

Homothétie

L’homothétie de centre $\Omega$ (affixe $\omega$ ) et de rapport $k \in \mathbb{R}^*$ :

$z \mapsto \omega + k(z - \omega)$

Rotation

La rotation de centre $\Omega$ (affixe $\omega$ ) et d’angle $\theta$ :

$z \mapsto \omega + e^{i\theta}(z - \omega)$

Exemple : Rotation de centre $O$ , angle $\pi/2$ : $z \mapsto iz$

Similitudes directes

Une similitude directe combine rotation et homothétie de même centre :

$z \mapsto az + b \quad (a \in \mathbb{C}^*, b \in \mathbb{C})$

Rapport : $|a|$
Angle : $\arg(a)$
Centre (si $a \neq 1$ ) : résoudre $\omega = a\omega + b$ , soit $\omega = \dfrac{b}{1-a}$

Application — Triangles

Équilatéral : $A$ , $B$ , $C$ forment un triangle équilatéral direct $\iff$ les affixes vérifient :

$z_C - z_A = (z_B - z_A)e^{\pm i\pi/3}$

Ensemble de points

Cercle de centre $\Omega$ et rayon $r$ : $|z - \omega| = r$

Droite passant par deux points d’affixes $a$ et $b$ : $\dfrac{z-a}{\overline{z}-\bar{a}} = \dfrac{b-a}{\bar{b}-\bar{a}}$ (ou plus simplement, paramétrique)

Mediatrice de $[AB]$ : $|z - z_A| = |z - z_B|$