Nombres complexes — forme algébrique

Définition

L’ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes étend $\mathbb{R}$ en introduisant $i$ tel que $i^2 = -1$.

Tout $z \in \mathbb{C}$ s’écrit en forme algébrique :

$z = a + ib \quad (a, b \in \mathbb{R})$

• $a = \text{Re}(z)$ : partie réelle
• $b = \text{Im}(z)$ : partie imaginaire

$z \in \mathbb{R} \iff b = 0$ ; $z$ est imaginaire pur $\iff a = 0$

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Conjugué

Le conjugué de $z = a + ib$ est $\bar{z} = a - ib$.

Propriétés :

$\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'} \qquad \overline{zz'} = \bar{z}\,\bar{z'}$

$z + \bar{z} = 2\,\text{Re}(z) \qquad z - \bar{z} = 2i\,\text{Im}(z)$

$z\bar{z} = a^2 + b^2 \in \mathbb{R}_+$

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Module

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\bar{z}}$

Propriétés :

$|zz'| = |z||z'| \qquad \left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|} \qquad |z^n| = |z|^n$

$|z + z'| \leq |z| + |z'| \quad \text{(inégalité triangulaire)}$

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Opérations algébriques

Addition : $(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)$

Multiplication : $(a+ib)(c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)$

Inverse ($z \neq 0$) :

$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{a-ib}{a^2+b^2}$

Division :

$\frac{z}{z'} = \frac{z\bar{z'}}{|z'|^2}$

Exemple : $\dfrac{3+i}{1-2i} = \dfrac{(3+i)(1+2i)}{5} = \dfrac{1+7i}{5} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{7}{5}i$

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Puissances de $i$

$i^0=1,\quad i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1,\ldots$

Cycle de période 4 : $i^{4k}=1$, $i^{4k+1}=i$, $i^{4k+2}=-1$, $i^{4k+3}=-i$.

Exemple : $i^{23} = i^{20} \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i$