Rappels

Une variable aléatoire discrète $X$ prend des valeurs $x_1, \ldots, x_n$ avec probabilités $p_1, \ldots, p_n$ ( $\sum p_i = 1$ ).

$E(X) = \sum x_i p_i \qquad V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

Linéarité de l’espérance

$E(aX + b) = aE(X) + b$

$E(X + Y) = E(X) + E(Y) \quad \text{(toujours vrai)}$

Exemple : $E(3X - 2) = 3E(X) - 2$

$V(aX + b) = a^2 V(X)$

$\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)$

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes :

$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$

En général, $V(X+Y) \neq V(X)+V(Y)$ si $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

La variable centrée réduite associée à $X$ :

$Z = \frac{X - E(X)}{\sigma(X)}$

Propriétés : $E(Z) = 0$ et $V(Z) = 1$ .

Si $X \geq 0$ :

$P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a} \quad (a > 0)$

$P\!\left(|X - E(X)| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{V(X)}{\varepsilon^2}$

Plus la variance est petite, plus $X$ est concentrée autour de son espérance.

Si $X_1, \ldots, X_n$ sont indépendantes et identiquement distribuées :

$E(X_1 + \cdots + X_n) = nE(X_1)$ $V(X_1 + \cdots + X_n) = nV(X_1)$

Moyenne empirique $\bar{X}_n = \dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$ :

$E(\bar{X}_n) = E(X) \qquad V(\bar{X}_n) = \frac{V(X)}{n}$