Fonctions trigonométriques — Terminale

Rappels fondamentaux

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \qquad \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Valeurs remarquables :

$x$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$

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Dérivées — Terminale

Fonction	Dérivée
$\sin(u)$	$u'\cos(u)$
$\cos(u)$	$-u'\sin(u)$
$\tan(u)$	$\dfrac{u'}{\cos^2(u)}$

Exemples :

$f(x) = \sin(2x+1)$ → $f'(x) = 2\cos(2x+1)$

$f(x) = \cos^2(x) = (\cos x)^2$ → $f'(x) = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -\sin(2x)$

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Formules d’addition

$\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ $\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$ $\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$

Duplication :

$\cos(2a) = 1 - 2\sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 \qquad \sin(2a) = 2\sin a\cos a$

Linearisation :

$\cos^2 a = \frac{1+\cos(2a)}{2} \qquad \sin^2 a = \frac{1-\cos(2a)}{2}$

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Résolution d’équations

$\cos x = \cos \alpha$

$x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

$\sin x = \sin \alpha$

$x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Exemple : Résoudre $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ sur $[0, 2\pi]$.

Poser $X = \cos x$ : $2X^2 - X - 1 = 0 \implies X = 1$ ou $X = -\dfrac{1}{2}$

• $\cos x = 1 \implies x = 0$
• $\cos x = -\dfrac{1}{2} \implies x = \dfrac{2\pi}{3}$ ou $x = \dfrac{4\pi}{3}$

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Primitives trigonométriques

$\int \cos(ax)\,dx = \frac{\sin(ax)}{a} + C \qquad \int \sin(ax)\,dx = -\frac{\cos(ax)}{a} + C$