Suites — Terminale

Limite d’une suite

Une suite $(u_n)$ converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ si :

$\forall \varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N},\; \forall n \geq N : |u_n - \ell| < \varepsilon$

On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$.

Divergence : $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ si pour tout $M$, $u_n > M$ à partir d’un certain rang.

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Théorèmes de convergence

Suite monotone bornée : Toute suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) est convergente.

Théorème des gendarmes : Si $a_n \leq u_n \leq b_n$ et $\lim a_n = \lim b_n = \ell$, alors $\lim u_n = \ell$.

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Limites usuelles

$\lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty \quad (k > 0) \qquad \lim_{n \to +\infty} q^n = 0 \quad (|q| < 1)$

$\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty \quad (q > 1) \qquad \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$

$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0 \quad (k > 0)$

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Suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$

Méthode d’étude :

1. Chercher les points fixes : $f(\ell) = \ell$
2. Étudier la monotonie de la suite par récurrence
3. Conclure sur la convergence (théorème suite monotone bornée)
4. Identifier la limite comme un point fixe

Exemple : $u_0 = 1$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 1$

Point fixe : $\ell = \dfrac{1}{2}\ell + 1 \implies \ell = 2$

Posons $v_n = u_n - 2$ : $v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n$ → suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

$v_n = (u_0 - 2)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = -\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0$, donc $u_n \to 2$.

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Comparaison exponentielle/polynôme

$\lim_{n\to+\infty} \frac{q^n}{n^k} = +\infty \quad (q > 1,\, k \in \mathbb{N}) \qquad \lim_{n\to+\infty} n^k q^n = 0 \quad (|q| < 1)$

L’exponentielle l’emporte sur tout polynôme.

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Suite arithmético-géométrique

$u_{n+1} = au_n + b$ ($a \neq 1$). Point fixe $\ell = \dfrac{b}{1-a}$.

$v_n = u_n - \ell$ est géométrique de raison $a$ : $u_n = \ell + (u_0 - \ell)a^n$.