Somme de deux variables aléatoires

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur le même univers.

$E(X + Y) = E(X) + E(Y) \quad \text{(toujours vrai)}$

$V(X + Y) = V(X) + V(Y) \quad \text{si } X \text{ et } Y \text{ sont indépendantes}$

Indépendance de variables aléatoires

$X$ et $Y$ sont indépendantes si pour tous $x_i$ , $y_j$ :

$P(X = x_i \text{ et } Y = y_j) = P(X = x_i) \times P(Y = y_j)$

Pour $X_1, \ldots, X_n$ indépendantes :

$E\!\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n E(X_i)$

$V\!\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n V(X_i)$

$\sigma\!\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sqrt{\sum_{i=1}^n V(X_i)}$

Si $X_1, \ldots, X_n$ sont i.i.d. (indépendantes et identiquement distribuées) avec $E(X_i) = \mu$ et $V(X_i) = \sigma^2$ :

$S_n = X_1 + \cdots + X_n \implies E(S_n) = n\mu, \quad V(S_n) = n\sigma^2$

$\bar{X}_n = \frac{S_n}{n} \implies E(\bar{X}_n) = \mu, \quad V(\bar{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n}, \quad \sigma(\bar{X}_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

La dispersion de la moyenne diminue en $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ : doubler $n$ divise l’écart-type par $\sqrt{2}$ .

Si $X_i \sim \mathcal{B}(p)$ indépendantes, alors $S_n = \sum X_i \sim \mathcal{B}(n, p)$ .

$E(S_n) = np \qquad V(S_n) = np(1-p)$

Un dé est lancé 4 fois. $X_i$ = résultat du $i$ -ème lancer.

$E(X_i) = 3{,}5$ , $V(X_i) = \dfrac{35}{12}$ .

$S_4 = X_1 + X_2 + X_3 + X_4$ = somme des 4 résultats.

$E(S_4) = 4 \times 3{,}5 = 14 \qquad V(S_4) = 4 \times \frac{35}{12} = \frac{35}{3} \approx 11{,}67$