Primitives et équations différentielles

Définition

$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F' = f$ sur $I$.

Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante :

$F_1 - F_2 = C \in \mathbb{R}$

On note $\int f(x)\,dx = F(x) + C$.

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Visualisation : cos et sa primitive sin

Primitives usuelles

$f(x)$	$F(x)$	Condition
$x^n$ ($n \neq -1$)	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln	x
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$e^{ax+b}$	$\dfrac{1}{a}e^{ax+b}$	$a \neq 0$
$\cos x$	$\sin x$	$\mathbb{R}$
$\sin x$	$-\cos x$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln	u
$u' e^u$	$e^u$	—
$u' u^n$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$	$n \neq -1$

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Visualisation : 1/x et ln|x|

Primitive passant par un point

Pour trouver la primitive $F$ telle que $F(x_0) = y_0$ :

1. Calculer la forme générale $F(x) = \ldots + C$
2. Résoudre $F(x_0) = y_0$ pour trouver $C$

Exemple : Primitive de $f(x) = 2x + 3$ telle que $F(1) = 5$.

$F(x) = x^2 + 3x + C$. $F(1) = 1 + 3 + C = 5 \implies C = 1$.

Donc $F(x) = x^2 + 3x + 1$.

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Équations différentielles

Type $y' = ay$ ($a \in \mathbb{R}$)

Solutions : $y = Ce^{ax}$ ($C \in \mathbb{R}$).

Exemple : $y' = 3y$ → $y = Ce^{3x}$. Si $y(0) = 2$ : $C = 2$, donc $y = 2e^{3x}$.

Type $y' = ay + b$ ($a \neq 0$)

Solution particulière constante : $y_p = -\dfrac{b}{a}$.

Solution générale : $y = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$.

Exemple : $y' = -y + 4$. $y_p = 4$. Solution générale : $y = Ce^{-x} + 4$.

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Applications

• Radioactivité : $N'(t) = -\lambda N(t)$ → $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$
• Démographie : $P'(t) = rP(t)$ → $P(t) = P_0 e^{rt}$
• Refroidissement (Newton) : $T' = -k(T - T_{\text{ext}})$