Équations de droites et plans

Équation cartésienne d’un plan

$\mathcal{P} : ax + by + cz + d = 0 \quad (a,b,c \text{ non tous nuls})$

Vecteur normal : $\vec{n} = (a, b, c)$

Déterminer l’équation d’un plan passant par trois points non alignés $A$, $B$, $C$ :

1. Calculer $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
2. Trouver $\vec{n}$ orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : résoudre $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$
3. Écrire l’équation avec le point $A$

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Représentation paramétrique d’une droite

Droite $\mathcal{D}$ passant par $A(x_0, y_0, z_0)$, de vecteur directeur $\vec{d} = (l, m, n)$ :

$\mathcal{D} : \begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$

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Intersection droite/plan

Méthode : Substituer les expressions paramétriques de la droite dans l’équation du plan, résoudre en $t$, puis calculer le point.

Exemple : $\mathcal{D} : (1+2t, -1+t, 2-t)$ et $\mathcal{P} : x + 2y - z + 3 = 0$

$(1+2t) + 2(-1+t) - (2-t) + 3 = 0$

$1+2t - 2+2t - 2+t + 3 = 0 \implies 5t = 0 \implies t = 0$

Point d’intersection : $(1, -1, 2)$.

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Intersection de deux plans

Système de deux équations cartésiennes → droite d’intersection (si plans non parallèles).

Exemple : $\mathcal{P}_1 : x + y + z = 3$ et $\mathcal{P}_2 : x - y + 2z = 1$

On peut paramétrer avec $z = t$ :

• $x + y = 3 - t$
• $x - y = 1 - 2t$

Addition : $2x = 4 - 3t \implies x = 2 - \frac{3t}{2}$ ; soustraction : $2y = 2 + t \implies y = 1 + \frac{t}{2}$

Droite : $(2 - \frac{3t}{2},\; 1 + \frac{t}{2},\; t)$ — vecteur directeur $(-3, 1, 2)$.

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Positions relatives de deux droites

Deux droites de l’espace peuvent être :

• Coplanaires sécantes : s’intersectent
• Coplanaires parallèles : mêmes vecteurs directeurs, pas d’intersection
• Non coplanaires (gauches) : ni parallèles ni sécantes

Test : $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ coplanaires $\iff$ $\overrightarrow{A_1A_2}$, $\vec{d_1}$, $\vec{d_2}$ coplanaires.