Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace

Produit scalaire dans l’espace

Pour $\vec{u} = (x, y, z)$ et $\vec{v} = (x', y', z')$ :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$

Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

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Vecteur normal à un plan

Le vecteur normal $\vec{n}$ à un plan $\mathcal{P}$ est perpendiculaire à tout vecteur de $\mathcal{P}$.

Si $\mathcal{P} : ax + by + cz + d = 0$, alors $\vec{n} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$.

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Distance d’un point à un plan

Distance du point $M(x_0, y_0, z_0)$ au plan $ax + by + cz + d = 0$ :

$d(M, \mathcal{P}) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Exemple : Distance de $M(1, 2, 3)$ au plan $2x - y + 2z - 1 = 0$ :

$d = \frac{|2 - 2 + 6 - 1|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{5}{3}$

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Angle entre deux plans

L’angle entre deux plans de normales $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ :

$\cos\theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{\|\vec{n_1}\|\,\|\vec{n_2}\|}$

Deux plans perpendiculaires : $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$

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Angle entre droite et plan

L’angle $\varphi$ entre une droite de vecteur directeur $\vec{d}$ et un plan de normale $\vec{n}$ :

$\sin\varphi = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{d}\|\,\|\vec{n}\|}$

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Orthogonalité droite/plan

Une droite de vecteur directeur $\vec{d}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ de normale $\vec{n}$ si et seulement si $\vec{d}$ est colinéaire à $\vec{n}$.

Méthode : pied de la perpendiculaire

Pour projeter $M$ sur $\mathcal{P}$ :

1. Écrire la droite passant par $M$ de vecteur directeur $\vec{n}$ : $M + t\vec{n}$
2. Trouver $t$ tel que le point soit dans $\mathcal{P}$
3. Le point obtenu est le pied $H$