Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est une expérience à deux issues :

La variable aléatoire associée $X$ suit la loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ :

$P(X=1) = p \qquad P(X=0) = q$

$E(X) = p \qquad V(X) = pq$

Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli consiste à répéter $n$ fois de façon indépendante la même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ .

Si $X$ compte le nombre de succès lors de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ :

$X \sim \mathcal{B}(n, p)$

$\boxed{P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}} \quad k \in \{0, 1, \ldots, n\}$

$E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p) = npq \qquad \sigma(X) = \sqrt{npq}$

Exemple : $X \sim \mathcal{B}(20, 0{,}3)$

$E(X) = 6$ ; $V(X) = 20 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 4{,}2$ ; $\sigma \approx 2{,}05$

Exemple : On lance 5 fois un dé. $X$ = nombre de 6 obtenus. $X \sim \mathcal{B}(5, \frac{1}{6})$ .

$P(X = 2) = \binom{5}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^3 = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} \approx 0{,}161$

Probabilités cumulées :

$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X=i) \qquad P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$

$X \sim \mathcal{B}(n, p) \implies n - X \sim \mathcal{B}(n, 1-p)$

Propriété : Le mode (valeur la plus probable) de $\mathcal{B}(n,p)$ est proche de $np$ .