Définition

Le logarithme népérien $\ln x$ est la réciproque de l’exponentielle :

$\ln x = y \iff e^y = x \qquad (x > 0)$

Valeurs remarquables :

$\ln 1 = 0 \qquad \ln e = 1 \qquad \ln(e^a) = a \qquad e^{\ln x} = x$

Propriétés algébriques

Pour $a, b > 0$ et $n \in \mathbb{Z}$ :

$\boxed{\ln(ab) = \ln a + \ln b}$

$\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \qquad \ln(a^n) = n \ln a$

$\ln\!\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln a \qquad \ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln a$

Exemples :

$\ln 12 = \ln(4 \times 3) = \ln 4 + \ln 3 = 2\ln 2 + \ln 3$

$\ln\!\left(\dfrac{e^3}{5}\right) = 3 - \ln 5$

$(\ln x)' = \frac{1}{x} \quad (x > 0)$

Plus généralement : $\left(\ln|u(x)|\right)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$

$\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$ .

Tableau de variations :

$x$	$0^+$		$+\infty$
$\ln x$	$-\infty$	$\nearrow$	$+\infty$

$\lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty \qquad \lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$

$\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \qquad \lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0$

$\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^a} = 0 \quad (a > 0) \qquad \lim_{x\to 0^+} x^a \ln x = 0 \quad (a > 0)$

Équation $\ln f(x) = \ln g(x)$ :

$\ln f(x) = \ln g(x) \iff f(x) = g(x) \quad \text{(avec } f(x) > 0 \text{ et } g(x) > 0\text{)}$

Inéquation $\ln f(x) > \ln g(x)$ :

$\ln f(x) > \ln g(x) \iff f(x) > g(x) \quad \text{(et } f(x) > 0, g(x) > 0\text{)}$

Exemple : Résoudre $\ln(2x-1) = 3$

$2x - 1 = e^3 \implies x = \frac{e^3 + 1}{2}$