Limites de fonctions

Limite en $+\infty$ et $-\infty$

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell \quad \text{si } f(x) \text{ se rapproche de } \ell \text{ quand } x \to +\infty$

Limites usuelles :

Fonction	$\lim_{x\to+\infty}$	$\lim_{x\to-\infty}$
$x^n$ ($n$ pair)	$+\infty$	$+\infty$
$x^n$ ($n$ impair)	$+\infty$	$-\infty$
$e^x$	$+\infty$	$0$
$\ln x$	$+\infty$	(non défini)
$\frac{1}{x}$	$0$	$0$

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Limite en un point

$\lim_{x \to a} f(x) = \ell \quad \text{si } f(x) \to \ell \text{ quand } x \to a$

Limites à gauche $\lim_{x \to a^-}$ et à droite $\lim_{x \to a^+}$ peuvent différer.

Limite infinie en $a$ : $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty$

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Règles de calcul

Opération	Règle
$\ell_1 + \ell_2$	Addition des limites
$\ell_1 \times \ell_2$	Produit des limites
$\frac{\ell_1}{\ell_2}$ ($\ell_2 \neq 0$)	Quotient des limites

Formes indéterminées (FI) : $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{0}{0}$ → lever l’indétermination.

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Lever une forme indéterminée

Factoriser par le terme dominant

Exemple : $\lim_{x\to+\infty} \dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 5}$

$= \lim \frac{x^2(3 - \frac{1}{x})}{x^2(1 + \frac{5}{x^2})} = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3$

Multiplier par la quantité conjuguée

Exemple : $\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}\right)$

$= \lim \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \lim \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = 0$

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Asymptotes

• Asymptote horizontale $y = \ell$ : $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \ell$
• Asymptote verticale $x = a$ : $\lim_{x\to a} |f(x)| = +\infty$
• Asymptote oblique $y = ax + b$ : $\lim_{x\to\pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$

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Croissances comparées

$\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \quad (n > 0)$

$\lim_{x\to 0^+} x \ln x = 0 \qquad \lim_{x\to+\infty} x e^{-x} = 0$