Vecteurs dans l’espace

Dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ , tout vecteur s’écrit :

$\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$

Norme : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Vecteur $\overrightarrow{AB}$ : $\begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{pmatrix}$

Coplanarité et linéarité

Trois vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ sont coplanaires s’il existe $a, b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ .

Quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont coplanaires si $\overrightarrow{AD}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .

Équation d’un plan

Un plan $\mathcal{P}$ de vecteur normal $\vec{n} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ passant par $A(x_0,y_0,z_0)$ :

$a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$

Soit : $ax + by + cz + d = 0$

Exemple : Plan de vecteur normal $(2, -1, 3)$ passant par $A(1, 0, -1)$ :

$2(x-1) - y + 3(z+1) = 0 \implies 2x - y + 3z + 1 = 0$

Représentation paramétrique d’une droite

Droite passant par $A(x_0, y_0, z_0)$ de vecteur directeur $\vec{d} = (l, m, n)$ :

$\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$

Positions relatives

Droite et plan : Substituer la paramétrisation dans l’équation du plan.

Si $t$ a une solution unique : la droite coupe le plan
Si $0 = 0$ : la droite est dans le plan
Si $0 = k \neq 0$ : la droite est parallèle au plan

Deux plans : Résoudre le système d’équations.

Produit scalaire dans l’espace

$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$

$\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$

Perpendiculaire à un plan : $\vec{d} \perp \mathcal{P} \iff \vec{d}$ est colinéaire au vecteur normal.