Dérivation — Terminale

Rappels des dérivées usuelles

$f(x)$	$f'(x)$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$

---

Dérivée d’une fonction composée

Si $h(x) = f(g(x))$ :

$h'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))$

Cas particuliers importants :

$h(x)$	$h'(x)$
$e^{u(x)}$	$u'(x)\,e^{u(x)}$
$\ln(u(x))$	$\dfrac{u'(x)}{u(x)}$
$[u(x)]^n$	$n\,u'(x)\,[u(x)]^{n-1}$
$\sqrt{u(x)}$	$\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$

Exemples :

$f(x) = e^{x^2+1}$ → $f'(x) = 2x\,e^{x^2+1}$

$f(x) = \ln(3x+2)$ → $f'(x) = \dfrac{3}{3x+2}$

$f(x) = (2x^2-1)^5$ → $f'(x) = 5 \cdot 4x \cdot (2x^2-1)^4 = 20x(2x^2-1)^4$

---

Dérivée seconde

La dérivée seconde $f''$ est la dérivée de $f'$ :

$f'' = (f')'$

Elle permet d’étudier la convexité de $f$.

---

Étude complète de fonction — Méthode

1. Domaine de définition
2. Limites aux bornes du domaine
3. Dérivée $f'(x)$, signe, tableau de variations
4. Dérivée seconde $f''(x)$, convexité (en Terminale)
5. Tableau de variations complet
6. Points remarquables (intersection avec les axes)

---

Visualisation : f et f’

Exemple complet

$f(x) = x e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.

Limites : $\lim_{x\to-\infty} = -\infty$ (croissance comparée), $\lim_{x\to+\infty} x e^{-x} = 0$

Dérivée : $f'(x) = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)$

Signe de $f'$ : $e^{-x} > 0$ toujours, donc signe de $(1-x)$ :

• $f' > 0$ pour $x < 1$ → croissante
• $f'(1) = 0$
• $f' < 0$ pour $x > 1$ → décroissante

Maximum en $x=1$ : $f(1) = e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}368$

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$f'$		$+$	$0$	$-$
$f$	$-\infty$ $\nearrow$		$\frac{1}{e}$	$\searrow$	$0$