Convexité et concavité

Une fonction $f$ est :

convexe sur $I$ si sa courbe est au-dessus de ses tangentes (forme de «bol»)
concave sur $I$ si sa courbe est en dessous de ses tangentes (forme de «dôme»)

Interprétation : $f$ convexe $\iff$ $f'$ croissante.

Lien avec la dérivée seconde

Théorème : Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$ :

$f''(x) > 0$ sur $I$ $\iff$ $f$ est convexe sur $I$

$f''(x) < 0$ sur $I$ $\iff$ $f$ est concave sur $I$

Point d’inflexion

Un point d’inflexion est un point où la courbe change de convexité (passe de convexe à concave ou vice versa).

Condition nécessaire : $f''(a) = 0$ et $f''$ change de signe en $a$ .

Si $f''(a) = 0$ mais $f''$ ne change pas de signe, il n’y a pas d’inflexion.

Méthode

Calculer $f''(x)$
Résoudre $f''(x) = 0$
Vérifier le changement de signe
Calculer les coordonnées du point d’inflexion $\left(a,\, f(a)\right)$

Exemple

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

$f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$

$f''(x) = 0 \implies x = 1$

$f''(x) < 0$ pour $x < 1$ → $f$ concave
$f''(x) > 0$ pour $x > 1$ → $f$ convexe

$f''$ change de signe en $x = 1$ → point d’inflexion en $(1, f(1)) = (1, 1)$ .

Inégalité de convexité

Si $f$ est convexe sur $[a,b]$ , alors pour tout $x \in [a,b]$ :

$f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a) \quad \text{(au-dessus de la tangente en } a\text{)}$

Exemple : $e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$ (car $(e^x)'' = e^x > 0$ ), donc :

$e^x \geq 1 + x \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}$