Définition

$f$ est continue en $a$ si :

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

$f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .

Toute fonction dérivable est continue. La réciproque est fausse ( $|x|$ est continue en 0 mais pas dérivable).

Continuité des fonctions usuelles

Sont continues sur leur domaine de définition :

Polynômes (sur $\mathbb{R}$ )
Fractions rationnelles (hors racines du dénominateur)
$e^x$ , $\ln x$ , $\sin x$ , $\cos x$ , $\sqrt{x}$

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

TVI : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors il existe au moins un $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$ .

Corollaire (existence de zéros) : Si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$ .

TVI et unicité (méthode de la bijection)

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$ , et $f(a) \cdot f(b) < 0$ , alors il existe un unique $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$ .

Méthode de dichotomie

Pour approcher un zéro de $f$ sur $[a,b]$ :

Calculer $m = \dfrac{a+b}{2}$
Tester le signe de $f(m)$ $f (m)$ :
- Si $f(a)$ et $f(m)$ sont de signes opposés → le zéro est dans $[a,m]$
- Sinon → le zéro est dans $[m,b]$
Répéter en divisant l’intervalle par 2.

Exemple : $f(x) = x^3 - 2$ sur $[1, 2]$ ( $f(1) = -1 < 0$ , $f(2) = 6 > 0$ )

$f(1{,}5) = 1{,}375 > 0$ → zéro dans $[1, 1{,}5]$

$f(1{,}25) \approx -0{,}047 < 0$ → zéro dans $[1{,}25, 1{,}5]$

→ zéro $\approx 1{,}26 \approx \sqrt[3]{2}$

Prolongement par continuité

Si $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ alors on peut prolonger $f$ en posant $f(a) = \ell$ .

Exemple : $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ , $x \neq 0$ . Comme $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ , on pose $f(0) = 1$ , ce qui rend $f$ continue en 0.