Terminale Analyse
Quiz — Continuité
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Définition
Une fonction est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ; le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'un zéro sur $[a,b]$ si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés.
Propriétés clés
- Polynômes, $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\sqrt{x}$ sont continus sur leur domaine
- TVI : $f$ continue sur $[a,b]$ et $f(a)f(b) < 0$ $\Rightarrow$ $\exists c \in ]a,b[$ tel que $f(c)=0$
- Unicité du zéro si $f$ est de plus strictement monotone (théorème de la bijection)
Formules essentielles
Continuité en $a$ : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
Dichotomie : $m = \frac{a+b}{2}$, puis tester le signe de $f(m)$
Prolongement par continuité : $f(a) := \lim_{x \to a} f(x)$
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