Définition

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $F$ une primitive de $f$ :

$\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b}$

Interprétation : Si $f \geq 0$ sur $[a,b]$ , $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est l’aire sous la courbe entre $a$ et $b$ .

Exemple : $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$ (aire hachurée ci-dessous)

Propriétés

$\int_a^a f = 0 \qquad \int_a^b f = -\int_b^a f$

$\int_a^b (f+g) = \int_a^b f + \int_a^b g \qquad \int_a^b \lambda f = \lambda \int_a^b f$

$\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f \quad \text{(relation de Chasles)}$

Si $m \leq f(x) \leq M$ sur $[a,b]$ :

$m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)$

Valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ :

$\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$

Exemple 1 : $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx = \Big[x^2+x\Big]_1^3 = (9+3)-(1+1) = 10$

Exemple 2 : $\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx = \left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_0^1 = \frac{e^2-1}{2}$

Exemple 3 : $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = [\ln x]_1^e = 1 - 0 = 1$

Si $u$ et $v$ sont dérivables :

$\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$

Mémo : choisir $u$ facile à dériver, $v'$ facile à intégrer.

Exemple : $\displaystyle\int_0^1 x e^x\,dx$

Poser $u = x$ , $v' = e^x$ → $u' = 1$ , $v = e^x$

$= \Big[x e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - \Big[e^x\Big]_0^1 = e - (e-1) = 1$

L’aire entre $f$ et $g$ (avec $f \geq g$ ) sur $[a,b]$ :

$\mathcal{A} = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$

Méthode : Identifier l’intervalle où $f \geq g$ en résolvant $f(x) = g(x)$ .