Lien dérivée et variations

Théorème fondamental : Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .

Si $f'(x) < 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .

Si $f'(x) = 0$ sur $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Extrema locaux

Soit $a$ un point intérieur au domaine de $f$ .

$f$ admet un maximum local en $a$ si $f(x) \leq f(a)$ au voisinage de $a$ .
$f$ admet un minimum local en $a$ si $f(x) \geq f(a)$ au voisinage de $a$ .

Condition nécessaire

Si $f$ admet un extremum en $a$ et est dérivable en $a$ , alors $f'(a) = 0$ .

Attention : La réciproque est fausse. $f'(a) = 0$ ne garantit pas un extremum ( $f(x) = x^3$ en $a = 0$ ).

Condition suffisante (changement de signe)

Si $f'$ change de signe en $a$ :

$f'$ passe de $+$ à $-$ → maximum local en $a$
$f'$ passe de $-$ à $+$ → minimum local en $a$
$f'$ ne change pas de signe → ni maximum ni minimum (point d’inflexion)

Méthode — Tableau de variations

Étape 1 — Calculer $f'(x)$ .

Étape 2 — Résoudre $f'(x) = 0$ et déterminer le signe de $f'$ sur chaque intervalle.

Étape 3 — Remplir le tableau :

Flèche montante $\nearrow$ quand $f' > 0$
Flèche descendante $\searrow$ quand $f' < 0$
Valeur de $f$ aux points critiques et aux bornes

Exemple complet

Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$ sur $\mathbb{R}$ .

Dérivée :

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$

Signe de $f'$ :

$f'(x) = 0$ pour $x = -1$ ou $x = 3$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$\nearrow$		$7$	$\searrow$	$-25$	$\nearrow$

Valeurs :

$f(-1) = -1 - 3 + 9 + 2 = 7$ → maximum local
$f(3) = 27 - 27 - 27 + 2 = -25$ → minimum local

Extremum global sur un segment

Sur un segment $[a, b]$ , le maximum et le minimum de $f$ sont atteints soit en un point critique, soit aux extrémités.

Méthode : Calculer $f$ en tous les points critiques intérieurs et en $f(a)$ et $f(b)$ , puis comparer.

Exemple : Maximum de $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$ sur $[-2, 4]$ .

Points à évaluer : $x = -1$ , $x = -2$ , $x = 4$ .

$f(-2) = -8 - 12 + 18 + 2 = 0$ $f(-1) = 7 \quad \text{(max local)}$ $f(4) = 64 - 48 - 36 + 2 = -18$

Maximum sur $[-2, 4]$ : $\mathbf{7}$ , atteint en $x = -1$ .

Optimisation

Beaucoup de problèmes concrets reviennent à maximiser ou minimiser une quantité.

Démarche type

Définir la variable $x$ et ses contraintes (intervalle).
Exprimer la quantité à optimiser en fonction de $x$ .
Calculer la dérivée et résoudre $f'(x) = 0$ .
Vérifier la nature de l’extremum (tableau de signes ou valeurs).
Conclure en donnant la valeur optimale.