Variables aléatoires

Variable aléatoire discrète

Définition

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe à chaque issue $\omega$ d’une expérience aléatoire un réel $X(\omega)$.

Elle est discrète si elle ne prend qu’un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs.

Loi de probabilité

La loi de probabilité de $X$ est le tableau donnant, pour chaque valeur $x_i$, la probabilité $p_i = P(X = x_i)$ :

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$

Condition : $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$

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Espérance

L’espérance de $X$ est la valeur moyenne attendue sur un grand nombre d’expériences :

$\boxed{E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i}$

Propriétés :

• $E(aX + b) = aE(X) + b$
• $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

L’espérance est le centre de gravité de la distribution.

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Variance et écart-type

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance :

$\boxed{V(X) = E\!\left[(X - E(X))^2\right] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot p_i}$

Formule de König-Huygens (plus pratique) :

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \quad \text{où } E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i$

Propriétés :

• $V(X) \geq 0$
• $V(aX + b) = a^2 V(X)$

L’écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

L’écart-type est dans la même unité que $X$ — il mesure l’écart typique à la moyenne.

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Exemple complet

On lance un dé équilibré. Soit $X$ le gain en euros : $+2$ si on obtient 6, $-1$ sinon.

$X$	$-1$	$2$
$P$	$\dfrac{5}{6}$	$\dfrac{1}{6}$

Espérance :

$E(X) = (-1) \times \frac{5}{6} + 2 \times \frac{1}{6} = -\frac{5}{6} + \frac{2}{6} = -\frac{3}{6} = -0{,}5$

En moyenne, on perd 50 centimes par lancer. Le jeu est défavorable.

Variance :

$E(X^2) = (-1)^2 \times \frac{5}{6} + 2^2 \times \frac{1}{6} = \frac{5}{6} + \frac{4}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

$V(X) = \frac{3}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

$\sigma(X) = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}12 \text{ euro}$

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Jeu équitable

Un jeu est dit équitable si $E(X) = 0$ : en moyenne, ni gain ni perte.

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Variable aléatoire de Bernoulli

Une variable $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ si :

$P(X = 1) = p \quad \text{et} \quad P(X = 0) = 1 - p$

Elle modélise une épreuve à deux issues : succès ($X = 1$) ou échec ($X = 0$).

$E(X) = p \qquad V(X) = p(1-p) \qquad \sigma(X) = \sqrt{p(1-p)}$

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Interprétation de l’écart-type

Loi des grands nombres : Lorsqu’on répète une expérience un grand nombre de fois, la moyenne des résultats observés converge vers $E(X)$.

L’écart-type quantifie les fluctuations autour de cette moyenne : plus $\sigma$ est petit, plus les résultats sont concentrés autour de $E(X)$.