Qu’est-ce qu’une suite ?

Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$ ) à valeurs dans $\mathbb{R}$ .

On note :

$(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite
$u_n$ le terme de rang $n$ (ou terme général)

Modes de définition

Formule explicite (terme général)

Le terme $u_n$ est donné directement en fonction de $n$ .

Exemple : $u_n = 3n^2 - 2n + 1$

On peut calculer immédiatement n’importe quel terme : $u_{10} = 300 - 20 + 1 = 281$ .

Définition par récurrence

On donne le premier terme $u_0$ (ou $u_1$ ) et une relation liant $u_{n+1}$ à $u_n$ .

Exemple : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1$

$u_0 = 2,\quad u_1 = 2,\quad u_2 = 2,\quad \ldots$

Pour calculer $u_n$ , il faut connaître tous les termes précédents.

Sens de variation

Une suite $(u_n)$ est :

Sens	Condition
croissante	$u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour tout $n$
strictement croissante	$u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout $n$
décroissante	$u_{n+1} - u_n \leq 0$ pour tout $n$
constante	$u_{n+1} - u_n = 0$ pour tout $n$

Méthode : Calculer $u_{n+1} - u_n$ , puis étudier son signe.
Si les termes sont positifs, on peut aussi étudier $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et le comparer à 1.

Exemple : $u_n = \dfrac{n}{n+1}$

$u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{(n+2)(n+1)} > 0$

La suite est strictement croissante.

Suite majorée, minorée, bornée

$(u_n)$ est majorée si $\exists M \in \mathbb{R}$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ .
$(u_n)$ est minorée si $\exists m \in \mathbb{R}$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$ .
$(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemple : $u_n = \dfrac{n}{n+1}$

On a $0 \leq u_n < 1$ pour tout $n \geq 0$ : la suite est bornée.

Raisonnement par récurrence

Pour démontrer qu’une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ :

Initialisation : Vérifier que $P(n_0)$ est vraie.
Hérédité : Supposer $P(n)$ vraie pour un certain $n \geq n_0$ (hypothèse de récurrence), puis montrer que $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : Par le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

Exemple : Montrer que $u_n = 2^n - 1$ vérifie $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$ .

Init : $u_0 = 2^0 - 1 = 0$ ✓
Hérédité : $2u_n + 1 = 2(2^n - 1) + 1 = 2^{n+1} - 2 + 1 = 2^{n+1} - 1 = u_{n+1}$ ✓

Limite d’une suite (introduction)

Une suite $(u_n)$ converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ si $u_n$ se rapproche arbitrairement de $\ell$ quand $n \to +\infty$ . On note :

$\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$

Une suite diverge si elle n’admet pas de limite finie.

Suite	Limite
$u_n = \dfrac{1}{n}$	$0$
$u_n = n^2$	$+\infty$
$u_n = (-1)^n$	pas de limite