Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques

Définition

Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si :

$u_{n+1} = u_n + r \quad \text{pour tout } n$

Autrement dit, on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours la même valeur $r$.

Terme général

$\boxed{u_n = u_0 + nr} \qquad \text{ou} \qquad u_n = u_p + (n-p)r$

Sens de variation

$r > 0$	Suite croissante
$r < 0$	Suite décroissante
$r = 0$	Suite constante

Somme des termes consécutifs

$\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)\,\frac{u_0 + u_n}{2}$

La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est égale au nombre de termes multiplié par la demi-somme du premier et du dernier terme.

Exemple : Calculer $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$.

Raison $r = 1$, $u_0 = 1$, $u_{100} = 100$, nombre de termes $= 100$.

$S = 100 \times \frac{1 + 100}{2} = 100 \times 50{,}5 = 5050$

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Suites géométriques

Définition

Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si :

$u_{n+1} = q \cdot u_n \quad \text{pour tout } n \quad (u_n \neq 0,\; q \neq 0)$

On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par la même valeur $q$.

Terme général

$\boxed{u_n = u_0 \cdot q^n} \qquad \text{ou} \qquad u_n = u_p \cdot q^{n-p}$

Sens de variation (si $u_0 > 0$)

$q > 1$	Croissante
$0 < q < 1$	Décroissante vers $0$
$q = 1$	Constante
$q < 0$	Alternée (termes de signes opposés)

Somme des termes consécutifs

Pour $q \neq 1$ :

$\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

Mémo : $1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

Exemple : Calculer $S = 3 + 6 + 12 + \cdots + 3 \times 2^9$.

$u_0 = 3$, $q = 2$, $n = 9$ (10 termes).

$S = 3 \times \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 3 \times \frac{1 - 1024}{-1} = 3 \times 1023 = 3069$

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Méthode — Reconnaître et utiliser

Reconnaître une suite arithmétique

Calculer $u_{n+1} - u_n$ : si le résultat est une constante, c’est une suite arithmétique.

Reconnaître une suite géométrique

Calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ : si le résultat est une constante (non nulle), c’est une suite géométrique.

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Exemple complet

Un capital de 1 000 € est placé à un taux annuel de 3 %.

Soit $C_n$ le capital après $n$ années.

$C_0 = 1000, \quad C_{n+1} = 1{,}03 \times C_n$

La suite $(C_n)$ est géométrique de raison $q = 1{,}03$.

$C_n = 1000 \times 1{,}03^n$

Après 10 ans : $C_{10} = 1000 \times 1{,}03^{10} \approx 1000 \times 1{,}3439 \approx 1343{,}9$ €

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Applications classiques

Contexte	Type de suite
Remboursement d’un emprunt à versements fixes	Arithmétique
Intérêts composés (placement bancaire)	Géométrique
Population à taux de croissance constant	Géométrique
Objet qui chute de hauteur fixe chaque seconde	Arithmétique