Le trinôme du second degré

Un trinôme du second degré est une expression de la forme :

f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)

où $a$ , $b$ , $c$ sont des réels.

Allure d’une parabole

Le discriminant

Le discriminant du trinôme est :

\Delta = b^2 - 4ac

Il détermine le nombre de racines réelles :

$\Delta$	Racines
$\Delta > 0$	Deux racines distinctes : $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta = 0$	Une racine double : $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$
$\Delta < 0$	Pas de racine réelle

Les trois formes du trinôme

Forme développée (ou standard)

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Forme canonique

$f(x) = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{\!2} - \frac{\Delta}{4a}$

Le sommet de la parabole est le point $S\!\left(-\dfrac{b}{2a},\, -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$ .

Forme factorisée (si $\Delta \geq 0$ )

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$

Si $\Delta = 0$ : $f(x) = a(x - x_0)^2$ .

Signe du trinôme

Règle : Le trinôme $ax^2 + bx + c$ a le signe de $a$ à l’extérieur de ses racines, et le signe opposé à $a$ entre ses racines.

Exemple : $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$

$\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$

$x_1 = \frac{5 - 1}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}$

$x$	$-\infty$		$1$		$\dfrac{3}{2}$		$+\infty$
$f(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Résolution d’équations et inéquations

Équation $ax^2 + bx + c = 0$

Calculer $\Delta$ , puis appliquer les formules des racines.

Inéquation $ax^2 + bx + c > 0$

Utiliser le tableau de signes. Si $a > 0$ et $\Delta > 0$ :

$ax^2 + bx + c > 0 \iff x < x_1 \text{ ou } x > x_2$

Méthode — Passer à la forme canonique

Pour $f(x) = 3x^2 - 6x + 5$ :

Étape 1 — Factoriser par $a$ :

$f(x) = 3\!\left(x^2 - 2x\right) + 5$

Étape 2 — Compléter le carré :

$f(x) = 3\!\left(x^2 - 2x + 1 - 1\right) + 5 = 3(x-1)^2 - 3 + 5$

$\boxed{f(x) = 3(x-1)^2 + 2}$

Sommet : $S(1,\, 2)$ . Minimum de $f$ : $2$ (atteint en $x = 1$ ).

Relations coefficients–racines (formules de Viète)

Si $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines de $ax^2 + bx + c = 0$ :

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Application : Vérifier que $1$ et $\tfrac{3}{2}$ sont bien racines de $2x^2 - 5x + 3$ :

$1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = -\frac{-5}{2} \checkmark \qquad 1 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \checkmark$