Définition géométrique

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls, et $\theta$ l’angle entre eux ( $0 \leq \theta \leq \pi$ ).

$\boxed{\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta}$

Si l’un des vecteurs est $\vec{0}$ , on pose $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

Interprétation : Le produit scalaire est le produit des normes par le cosinus de l’angle.

Formule avec les coordonnées

Dans un repère orthonormé, si $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ :

$\boxed{\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'}$

Norme d’un vecteur :

$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \|\vec{u}\|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$

Formule de polarisation

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\!\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right) = \frac{1}{2}\!\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$

Formule avec un point projeté

Soit $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(AC)$ :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{AC} = AH \times AC$

avec un signe $+$ si $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont le même sens, $-$ sinon.

Propriétés algébriques

Commutativité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
Bilinéarité : $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}$
Homogénéité : $(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v} = \lambda(\vec{u} \cdot \vec{v})$

Identités remarquables :

$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$

$\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$

$(\vec{u} + \vec{v})\cdot(\vec{u} - \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2$

Orthogonalité

$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Exemple : $\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 + (-2) \times 3 = 6 - 6 = 0 \implies \vec{u} \perp \vec{v}$

Calcul d’un angle

Pour calculer l’angle $\widehat{BAC}$ :

$\cos\!\left(\widehat{BAC}\right) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\|\,\|\overrightarrow{AC}\|}$

Exemple : $A(1, 0)$ , $B(4, 3)$ , $C(3, -2)$ .

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix},\quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 6 - 6 = 0 \implies \widehat{BAC} = 90°$

Équation d’un cercle

Un point $M(x, y)$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si :

$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$

Équation d’un cercle de centre $\Omega(a, b)$ et rayon $R$ :

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Applications — Théorèmes classiques

Théorème de la médiane (Al-Kashi généralisé)

Dans un triangle $ABC$ , $M$ milieu de $[BC]$ :

$AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + 2BM^2$

Théorème d’Al-Kashi (généralisation de Pythagore)

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \cdot AC \cdot \cos\!\left(\widehat{BAC}\right)$