Première Géométrie produit scalaireorthogonalitévecteursanglenorme

Produit scalaire

Définitions et formules du produit scalaire dans le plan, applications à l'orthogonalité, aux distances et aux angles.

Définition géométrique

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs non nuls, et θ\theta l’angle entre eux (0≤θ≤π0 \leq \theta \leq \pi).

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\boxed{\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta}

Si l’un des vecteurs est 0⃗\vec{0}, on pose u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0.

Interprétation : Le produit scalaire est le produit des normes par le cosinus de l’angle.

Formule avec les coordonnées

Dans un repère orthonormé, si u⃗=(xy)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v⃗=(x′y′)\vec{v} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} :

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\boxed{\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'}

Norme d’un vecteur :

∥u⃗∥=x2+y2∥u⃗∥2=u⃗⋅u⃗\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \|\vec{u}\|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}

Formule de polarisation

u⃗⋅v⃗=12 ⁣(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)=12 ⁣(∥u⃗∥2+∥v⃗∥2−∥u⃗−v⃗∥2)\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\!\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right) = \frac{1}{2}\!\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)

Formule avec un point projeté

Soit HH le projeté orthogonal de BB sur la droite (AC)(AC) :

AB→⋅AC→=AH→⋅AC→=AH×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{AC} = AH \times AC

avec un signe ++ si AH→\overrightarrow{AH} et AC→\overrightarrow{AC} ont le même sens, −- sinon.

Propriétés algébriques

  • Commutativité : u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}
  • Bilinéarité : (u⃗+v⃗)⋅w⃗=u⃗⋅w⃗+v⃗⋅w⃗(\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}
  • Homogénéité : (λu⃗)⋅v⃗=λ(u⃗⋅v⃗)(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v} = \lambda(\vec{u} \cdot \vec{v})

Identités remarquables :

∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2

∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2

(u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=∥u⃗∥2−∥v⃗∥2(\vec{u} + \vec{v})\cdot(\vec{u} - \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2

Orthogonalité

u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

Exemple : u⃗=(3−2)\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} et v⃗=(23)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}

u⃗⋅v⃗=3×2+(−2)×3=6−6=0  ⟹  u⃗⊥v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 + (-2) \times 3 = 6 - 6 = 0 \implies \vec{u} \perp \vec{v}

Calcul d’un angle

Pour calculer l’angle BAC^\widehat{BAC} :

cos⁡ ⁣(BAC^)=AB→⋅AC→∥AB→∥ ∥AC→∥\cos\!\left(\widehat{BAC}\right) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\|\,\|\overrightarrow{AC}\|}

Exemple : A(1,0)A(1, 0), B(4,3)B(4, 3), C(3,−2)C(3, -2).

AB→=(33),AC→=(2−2)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix},\quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}

AB→⋅AC→=6−6=0  ⟹  BAC^=90°\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 6 - 6 = 0 \implies \widehat{BAC} = 90°

Équation d’un cercle

Un point M(x,y)M(x, y) appartient au cercle de diamètre [AB][AB] si et seulement si :

MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0

Équation d’un cercle de centre Ω(a,b)\Omega(a, b) et rayon RR :

(x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2

Applications — Théorèmes classiques

Théorème de la médiane (Al-Kashi généralisé)

Dans un triangle ABCABC, MM milieu de [BC][BC] :

AB2+AC2=2AM2+2BM2AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + 2BM^2

Théorème d’Al-Kashi (généralisation de Pythagore)

BC2=AB2+AC2−2 AB⋅AC⋅cos⁡ ⁣(BAC^)BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \cdot AC \cdot \cos\!\left(\widehat{BAC}\right)

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