Première Géométrie
Quiz — Produit scalaire
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Définition
Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le réel $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$, où $\theta$ est l'angle entre eux.
Propriétés clés
- Commutativité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
- Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
- Identité remarquable : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$
Formules essentielles
$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ dans un repère orthonormé
$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\|\,\|\overrightarrow{AC}\|}$
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB\cdot AC\cos(\hat{A})$ (Al-Kashi)
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