Probabilité conditionnelle

Définition

Soit $A$ et $B$ deux événements avec $P(B) > 0$ . La probabilité de $A$ sachant $B$ est :

$\boxed{P_B(A) = P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}$

C’est la probabilité que $A$ se réalise, sachant que $B$ s’est déjà réalisé.

Propriétés

$P_B$ est une probabilité : $0 \leq P(A \mid B) \leq 1$ , et $P(\Omega \mid B) = 1$
Formule multiplicative : $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

Arbres pondérés

Un arbre pondérés représente les probabilités à chaque étape.

Les probabilités sur les branches issues d’un même nœud somment à 1.
La probabilité d’un chemin = produit des probabilités sur les branches.
La probabilité d’un événement = somme des probabilités des chemins favorables.

Exemple : Une urne contient 4 boules rouges et 6 bleues. On tire deux boules sans remise.

$P(\text{2 rouges}) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$

flowchart TD
    D["Urne : 4R, 6B"]
    D -->|"4/10"| R1["1ʳᵉ : Rouge"]
    D -->|"6/10"| B1["1ʳᵉ : Bleue"]
    R1 -->|"3/9"| RR["2ᵉ : Rouge → P = 2/15"]
    R1 -->|"6/9"| RB["2ᵉ : Bleue → P = 4/15"]
    B1 -->|"4/9"| BR["2ᵉ : Rouge → P = 4/15"]
    B1 -->|"5/9"| BB["2ᵉ : Bleue → P = 5/15"]

Formule des probabilités totales

Soit $(B_1, B_2, \ldots, B_n)$ une partition de $\Omega$ (événements deux à deux incompatibles dont l’union est $\Omega$ ), tous de probabilité non nulle. Alors pour tout événement $A$ :

$\boxed{P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)}$

Exemple : Une usine produit des pièces avec deux machines.

Machine $M_1$ : 60 % de la production, 2 % de défauts.
Machine $M_2$ : 40 % de la production, 5 % de défauts.

$P(D) = P(M_1) \cdot P(D \mid M_1) + P(M_2) \cdot P(D \mid M_2)$

$P(D) = 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032$

flowchart TD
    S["Production totale"]
    S -->|"0,6"| M1["Machine M₁"]
    S -->|"0,4"| M2["Machine M₂"]
    M1 -->|"0,02"| D1["Défectueux → 0,012"]
    M1 -->|"0,98"| ND1["Non défectueux → 0,588"]
    M2 -->|"0,05"| D2["Défectueux → 0,020"]
    M2 -->|"0,95"| ND2["Non défectueux → 0,380"]

Formule de Bayes

Dans le contexte précédent (partition $B_1, \ldots, B_n$ ) :

$P(B_k \mid A) = \frac{P(B_k) \cdot P(A \mid B_k)}{P(A)}$

Application (même exemple) : Sachant qu’une pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu’elle vienne de $M_2$ ?

$P(M_2 \mid D) = \frac{P(M_2) \cdot P(D \mid M_2)}{P(D)} = \frac{0{,}4 \times 0{,}05}{0{,}032} = \frac{0{,}020}{0{,}032} = \frac{5}{8} = 0{,}625$

Indépendance de deux événements

$A$ et $B$ sont indépendants si :

$\boxed{P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}$

Équivalences :

$A \perp B \iff P(A \mid B) = P(A) \iff P(B \mid A) = P(B)$

L’indépendance signifie que la réalisation de $B$ n’influence pas la probabilité de $A$ .

Exemple : On lance deux dés. Soit $A$ = « le premier dé donne 6 » et $B$ = « la somme est 7 ».

$P(A) = \frac{1}{6}, \quad P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}, \quad P(A \cap B) = \frac{1}{36}$

$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} = P(A \cap B) \implies A \text{ et } B \text{ sont indépendants.}$

Successions d’épreuves indépendantes

Si des épreuves sont indépendantes, la probabilité d’un enchaînement d’issues = produit des probabilités individuelles.

Exemple : On lance une pièce équilibrée 3 fois. Probabilité d’obtenir P, F, P :

$P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$