Vecteurs dans le plan

Dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ , tout vecteur $\vec{u}$ se décompose en :

$\vec{u} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

Opérations :

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+x' \\ y+y' \end{pmatrix} \qquad \lambda\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x \\ \lambda y \end{pmatrix}$

Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ : Si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ :

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$

Milieu de $[AB]$ : $I\!\left(\dfrac{x_A + x_B}{2},\; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$

Équations d’une droite

Équation cartésienne

$ax + by + c = 0 \quad (a \neq 0 \text{ ou } b \neq 0)$

Un vecteur normal à la droite est $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ .

Un vecteur directeur est $\vec{d} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ .

Équation réduite

Si $b \neq 0$ :

$y = mx + p$

où $m$ est la pente (ou coefficient directeur) et $p$ l’ordonnée à l’origine.

La pente est aussi : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ pour deux points distincts $A$ et $B$ de la droite.

Droites particulières

Droite	Condition	Équation
Horizontale	$\vec{d} = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$	$y = k$
Verticale	$\vec{d} = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$	$x = k$
Passant par $A(x_A, y_A)$ de pente $m$	—	$y - y_A = m(x - x_A)$

Position relative de deux droites

Deux droites $d_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ et $d_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ sont :

Parallèles si $\vec{d_1} \parallel \vec{d_2}$ , i.e. $a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$
Confondues si en plus elles ont un point commun
Sécantes sinon (un unique point d’intersection)

Méthode pour trouver l’intersection : Résoudre le système $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = -c_1 \\ a_2 x + b_2 y = -c_2 \end{cases}$

Orthogonalité et parallélisme

Deux droites de pentes $m_1$ et $m_2$ sont :

$\text{Parallèles} \iff m_1 = m_2$

$\text{Perpendiculaires} \iff m_1 \cdot m_2 = -1$

En termes de vecteurs directeurs $\vec{d_1} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}$ et $\vec{d_2} = \begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix}$ :

$\vec{d_1} \perp \vec{d_2} \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$

Distance d’un point à une droite

La distance du point $P(x_0, y_0)$ à la droite $ax + by + c = 0$ est :

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Exemple : Distance de $P(2, 1)$ à la droite $3x - 4y + 5 = 0$ :

$d = \frac{|3 \times 2 - 4 \times 1 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|6 - 4 + 5|}{5} = \frac{7}{5}$

Équation d’un cercle

Le cercle de centre $\Omega(a, b)$ et rayon $R > 0$ a pour équation :

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Développé : $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - R^2) = 0$

Méthode — Déterminer le centre et le rayon à partir de $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ :

Compléter le carré en $x$ et en $y$ .

Exemple : $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$

$(x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 - 3 = 0 \implies (x-2)^2 + (y+3)^2 = 16$

Centre $\Omega(2, -3)$ , rayon $R = 4$ .