Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ .

Pour tout réel $x$ , on associe le point $M$ du cercle obtenu en parcourant un arc de longueur $|x|$ depuis $(1, 0)$ :

dans le sens antihoraire si $x > 0$
dans le sens horaire si $x < 0$

On pose alors : $\cos x = \text{abscisse de } M \qquad \sin x = \text{ordonnée de } M$

Identité fondamentale :

$\boxed{\cos^2 x + \sin^2 x = 1}$

Valeurs remarquables

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$
$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$-1$
$\sin x$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$

Propriétés de symétrie

$\cos(-x) = \cos x \qquad \sin(-x) = -\sin x$

$\cos(\pi - x) = -\cos x \qquad \sin(\pi - x) = \sin x$

$\cos\!\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x \qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$

Périodicité :

$\cos(x + 2\pi) = \cos x \qquad \sin(x + 2\pi) = \sin x$

Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$ -périodiques.

La fonction tangente

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \quad \text{définie pour } x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z}$

La tangente est $\pi$ -périodique et strictement croissante sur chaque intervalle $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\, \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$ .

Dérivées

Fonction	Dérivée	Domaine
$\sin x$	$\cos x$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$-\sin x$	$\mathbb{R}$
$\tan x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$	$x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

Avec la règle de la chaîne :

$(\sin u)' = u' \cos u \qquad (\cos u)' = -u' \sin u$

Exemple : $f(x) = \sin(3x^2 + 1)$

$f'(x) = 6x \cos(3x^2 + 1)$

Courbes de sin et cos

Variations de sin et cos sur $[0, 2\pi]$

$x$	$0$		$\dfrac{\pi}{2}$		$\pi$		$\dfrac{3\pi}{2}$		$2\pi$
$\cos$	$1$	$\searrow$	$0$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	$1$
$\sin$	$0$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$0$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$0$

Résolution d’équations

$\cos x = a$ (avec $-1 \leq a \leq 1$ )

Soit $\alpha$ un angle tel que $\cos \alpha = a$ .

$\cos x = a \iff x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

$\sin x = a$ (avec $-1 \leq a \leq 1$ )

Soit $\alpha$ un angle tel que $\sin \alpha = a$ .

$\sin x = a \iff x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Exemple : Résoudre $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[0, 2\pi]$ .

$\alpha = \dfrac{\pi}{4}$ , donc $x = \dfrac{\pi}{4}$ ou $x = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$ .

Fonction tangente — courbe

Formules d’addition

$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$

$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

Cas particulier — duplication :

$\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$

$\sin(2a) = 2\sin a \cos a$