Définition

La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$ , est l’unique fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que :

$f'(x) = f(x) \quad \text{et} \quad f(0) = 1$

La constante $e \approx 2{,}718$ est la base de l’exponentielle.

Propriétés algébriques

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$\boxed{e^{a+b} = e^a \cdot e^b}$

$e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b} \qquad e^{-a} = \frac{1}{e^a} \qquad (e^a)^n = e^{na}$

Conséquences :

$e^0 = 1$
$e^1 = e$
$e^a > 0$ pour tout réel $a$

Dérivée et variations

$\boxed{(e^x)' = e^x}$

Plus généralement, si $u$ est une fonction dérivable :

$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$

Tableau de variations :

Comme $e^x > 0$ pour tout $x$ , la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

$x$	$-\infty$		$+\infty$
$e^x$	$\nearrow$ (vers $0^+$ )		$\nearrow$ (vers $+\infty$ )

Courbe de la fonction exponentielle

Limites remarquables

$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0$

La droite $y = 0$ est asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$ .

Croissance comparée

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}$

L’exponentielle croît plus vite que tout polynôme.

Résolution d’équations et inéquations

Équation $e^{f(x)} = e^{g(x)}$

$e^{f(x)} = e^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$

Car l’exponentielle est strictement croissante et injective.

Inéquation $e^{f(x)} > e^{g(x)}$

$e^{f(x)} > e^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$

Exemple : Résoudre $e^{2x-1} = e^{x+3}$

$2x - 1 = x + 3 \implies x = 4$

Exemple : Résoudre $e^{x^2} > e^{2x}$

$x^2 > 2x \implies x^2 - 2x > 0 \implies x(x-2) > 0 \implies x < 0 \text{ ou } x > 2$

Exemples de dérivées

Fonction	Dérivée
$e^{3x}$	$3e^{3x}$
$e^{-x}$	$-e^{-x}$
$e^{x^2}$	$2x\,e^{x^2}$
$x \cdot e^x$	$e^x + x\,e^x = (1+x)e^x$
$\dfrac{e^x}{x}$	$\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}$

Comparaison $e^x$ , $x^2$ et $x^3$

Étude de fonction avec exponentielle

Exemple : Étudier $f(x) = (x-1)e^x$ .

Dérivée : $f'(x) = e^x + (x-1)e^x = e^x(1 + x - 1) = x\,e^x$

Comme $e^x > 0$ , le signe de $f'$ est celui de $x$ :

$f'(x) < 0$ pour $x < 0$ → $f$ décroissante
$f'(0) = 0$
$f'(x) > 0$ pour $x > 0$ → $f$ croissante

$f(0) = (0-1)e^0 = -1$ → minimum local $-1$ en $x = 0$ .