Dérivées — définition et calcul

Qu’est-ce qu’une dérivée ?

La dérivée d’une fonction $f$ en un point $a$ est la limite du taux de variation quand $h \to 0$ :

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Géométriquement, $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$.

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Formules de base

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$k$ (constante)	$0$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$

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Règles de calcul

Linéarité

Pour tous réels $\lambda, \mu$ :

$$(\lambda f + \mu g)' = \lambda f' + \mu g'$$

Produit

$$(fg)' = f'g + fg'$$

Exemple : Soit $h(x) = x^2 \sin x$.

$$h'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$$

Quotient

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$

Exemple : Soit $h(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$ (définie pour $x \neq 2$).

$$h'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}$$

Composée (règle de la chaîne)

$$(f \circ g)'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))$$

Exemple : Soit $h(x) = e^{3x+1}$.

On pose $u = 3x+1$, donc $u' = 3$ et $f(u) = e^u$.

$$h'(x) = 3 e^{3x+1}$$

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Sens de variation et dérivée

Théorème : Sur un intervalle $I$, si $f'(x) > 0$ alors $f$ est croissante sur $I$.
Si $f'(x) < 0$ alors $f$ est décroissante sur $I$.

Méthode — Tableau de variations

1. Calculer $f'(x)$.
2. Résoudre $f'(x) = 0$ et déterminer le signe de $f'$ sur chaque intervalle.
3. En déduire le tableau de variations de $f$.

Exemple : $f(x) = x^3 - 3x + 2$

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$$

$f'(x) = 0$ pour $x = -1$ ou $x = 1$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$\nearrow$		$4$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$

$f$ admet un maximum local en $x = -1$ : $f(-1) = 4$.
$f$ admet un minimum local en $x = 1$ : $f(1) = 0$.

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Équation de la tangente

La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ a pour équation :

$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

Exemple : Tangente à $f(x) = x^2$ en $x = 2$.

• $f(2) = 4$, $f'(x) = 2x$, $f'(2) = 4$.

$$y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 4$$