Repère orthonormé

Un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ est un repère dans lequel :

$\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont perpendiculaires
$\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1$

Tout point $M$ du plan a des coordonnées $(x, y)$ telles que $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}$ .

Coordonnées d’un vecteur

Si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ :

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$

Opérations :

$\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} x_u + x_v \\ y_u + y_v \end{pmatrix} \qquad \lambda \vec{u} = \begin{pmatrix} \lambda x_u \\ \lambda y_u \end{pmatrix}$

Distance entre deux points

$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Exemple : $A(1, 2)$ , $B(4, 6)$ :

$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Milieu d’un segment

Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées :

$I = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$

Propriété : $I$ milieu de $[AB]$ $\iff$ $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$ $\iff$ $\overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{IB}$

Colinéarité et alignement

$\vec{u} = \binom{a}{b}$ et $\vec{v} = \binom{c}{d}$ sont colinéaires $\iff ad - bc = 0$

$A$ , $B$ , $C$ alignés $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires.

Parallélisme de droites

Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Exemple : $A(0,1)$ , $B(2,3)$ , $C(1,0)$ , $D(3,2)$ .

$\overrightarrow{AB} = \binom{2}{2}$ , $\overrightarrow{CD} = \binom{2}{2}$ → mêmes coordonnées → $(AB) \parallel (CD)$ .

Centre de gravité d’un triangle

Le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ :

$G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3},\; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$

Propriété : $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$