Vecteurs

Notion de vecteur

Un vecteur $\vec{u}$ est caractérisé par :

• une direction (la droite portante)
• un sens
• une norme (longueur) notée $\|\vec{u}\|$

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

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Vecteur $\overrightarrow{AB}$

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour origine $A$ et pour extrémité $B$.

$\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$

Relation de Chasles :

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$

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Coordonnées d’un vecteur

Dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$, si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ :

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$

Norme :

$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

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Opérations sur les vecteurs

Addition :

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix}$

Multiplication par un scalaire :

$\lambda \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x \\ \lambda y \end{pmatrix}$

Vecteur opposé : $-\vec{u} = (-1)\vec{u}$

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Vecteurs colinéaires

$\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires si et seulement si :

$xy' - x'y = 0$

Application : $A$, $B$, $C$ sont alignés $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Exemple : $A(1,2)$, $B(3,5)$, $C(5,8)$. $\overrightarrow{AB} = \binom{2}{3}$, $\overrightarrow{AC} = \binom{4}{6}$.

$2 \times 6 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0$ → $A$, $B$, $C$ sont alignés.

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Milieu et centre de gravité

Milieu $I$ de $[AB]$ :

$I = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\; \frac{y_A + y_B}{2}\right) \iff \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$

Centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ :

$G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3},\; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$