Sens de variation

Une fonction $f$ est :

croissante sur $I$ si pour tous $x_1 < x_2$ dans $I$ : $f(x_1) < f(x_2)$
décroissante sur $I$ si pour tous $x_1 < x_2$ dans $I$ : $f(x_1) > f(x_2)$
constante sur $I$ si $f(x_1) = f(x_2)$ pour tous $x_1, x_2 \in I$

Tableau de variations

Un tableau de variations résume le comportement de $f$ :

Ligne des $x$ : valeurs remarquables
Ligne de $f(x)$ : valeurs aux points clés
Flèches : $\nearrow$ (croissante), $\searrow$ (décroissante)

Lecture :

$x$	$-\infty$		$-1$		$2$		$+\infty$
$f(x)$	$\nearrow$		$5$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$

→ $f$ admet un maximum local de $5$ en $x = -1$ et un minimum local de $-1$ en $x = 2$ .

Maximum et minimum

Maximum global sur $[a, b]$ : la plus grande valeur atteinte par $f$
Minimum global sur $[a, b]$ : la plus petite valeur atteinte par $f$

Méthode : Comparer les valeurs aux extrémités et aux points de changement de variation.

Lecture graphique

Sur la courbe de $f$ , pour déterminer les variations :

Si la courbe monte de gauche à droite → $f$ croissante
Si la courbe descend de gauche à droite → $f$ décroissante
Un sommet local = extremum

Résoudre $f(x) > k$ graphiquement : trouver les abscisses où la courbe est au-dessus de la droite $y = k$ .

Propriétés utiles

Si $f$ est croissante sur $I$ et si $a < b$ sont dans $I$ , alors $f(a) < f(b)$ .

Pour comparer $f(a)$ et $f(b)$ : si on connaît le sens de variation et l’ordre de $a$ et $b$ , la comparaison est immédiate.

Exemple : $f$ est décroissante sur $[-3, 5]$ . Comparer $f(1)$ et $f(4)$ .

$1 < 4$ et $f$ décroissante → $f(1) > f(4)$ .

Extremum global sur un segment

Méthode : Sur $[a, b]$ , le maximum de $f$ est la plus grande valeur parmi toutes les valeurs aux changements de variation et aux bornes $f(a)$ et $f(b)$ .