Systèmes d'équations

Système de deux équations

Un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ :

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

Résoudre = trouver tous les couples $(x, y)$ satisfaisant simultanément les deux équations.

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Méthode par substitution

1. Exprimer une inconnue en fonction de l’autre depuis une équation.
2. Substituer dans l’autre équation.
3. Résoudre l’équation obtenue, puis remonter.

Exemple :

$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$

De la 1ère : $x = 7 - 2y$. On substitue dans la 2ème :

$3(7 - 2y) - y = 1 \implies 21 - 6y - y = 1 \implies -7y = -20 \implies y = \frac{20}{7}$

$x = 7 - 2 \times \frac{20}{7} = \frac{49 - 40}{7} = \frac{9}{7}$

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Méthode par combinaison (ou addition)

1. Multiplier chaque équation par un coefficient pour que les coefficients d’une inconnue soient opposés.
2. Additionner les deux équations pour éliminer cette inconnue.

Exemple :

$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 3y = 6 \end{cases}$

Les coefficients de $y$ sont déjà opposés. Addition :

$7x = 14 \implies x = 2$

Substituer : $2(2) + 3y = 8 \implies y = \frac{4}{3}$

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Interprétation géométrique

Chaque équation représente une droite dans le plan. Le système a :

• 1 solution : les deux droites sont sécantes (cas général)
• Pas de solution : les droites sont parallèles distinctes ($m_1 = m_2$, $p_1 \neq p_2$)
• Infinité de solutions : les droites sont confondues ($m_1 = m_2$, $p_1 = p_2$)

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Vérification

Toujours vérifier en substituant la solution dans les deux équations initiales.

Exemple : $(x,y) = (2, \frac{4}{3})$ dans $2x + 3y = 8$ :

$4 + 4 = 8$ ✓ et dans $5x - 3y = 6$ : $10 - 4 = 6$ ✓