Expérience aléatoire et univers

Une expérience aléatoire a des résultats imprévisibles. L’univers $\Omega$ est l’ensemble de tous les résultats possibles (les issues).

Exemple : Lancer un dé à 6 faces → $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Événements et probabilités

Un événement $A$ est un sous-ensemble de $\Omega$ . Sa probabilité $P(A)$ vérifie :

$0 \leq P(A) \leq 1 \qquad P(\Omega) = 1 \qquad P(\emptyset) = 0$

Équiprobabilité : Si toutes les issues sont équiprobables :

$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{|A|}{|\Omega|}$

Exemple : Probabilité d’obtenir un chiffre pair : $P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

Opérations sur les événements

Notation	Signification	Probabilité
$\bar{A}$	Contraire de $A$	$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
$A \cap B$	” $A$ et $B$ ”	—
$A \cup B$	” $A$ ou $B$ ”	$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Événements incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ) :

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Fréquence et probabilité

La fréquence relative d’un événement sur $n$ expériences est :

$f_n = \frac{\text{nombre d'occurrences}}{n}$

Loi des grands nombres (intuition) : Quand $n$ est grand, $f_n \approx P(A)$ .

Échantillonnage

Un échantillon de taille $n$ est un sous-ensemble tiré au hasard dans une population.

La proportion observée dans l’échantillon est une estimation de la proportion réelle dans la population.

Fluctuation d’échantillonnage : Deux échantillons différents donnent des fréquences légèrement différentes. Plus $n$ est grand, moins les fréquences fluctuent.

Intervalle de fluctuation au seuil de 95 % : Pour une proportion théorique $p$ dans un échantillon de taille $n$ :

$\left[p - \frac{1}{\sqrt{n}},\; p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$

Exemple : $p = 0{,}5$ , $n = 100$ → intervalle $[0{,}4,\, 0{,}6]$