Notion de fonction

Définition

Une fonction $f$ définie sur un ensemble $D$ associe à chaque $x \in D$ un unique réel $f(x)$.

• $D$ est le domaine de définition de $f$
• $f(x)$ est l’image de $x$ par $f$
• Si $f(x) = y$, alors $x$ est un antécédent de $y$ par $f$

Notation : $f : D \to \mathbb{R}$, $x \mapsto f(x)$

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Image et antécédent

• Image de $a$ : calculer $f(a)$ (substituer $x$ par $a$)
• Antécédent de $b$ : résoudre $f(x) = b$

Exemple : $f(x) = 2x^2 - 3$

• Image de $2$ : $f(2) = 2 \times 4 - 3 = 5$
• Antécédent de $5$ : $2x^2 - 3 = 5 \implies x^2 = 4 \implies x = 2$ ou $x = -2$

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Domaine de définition

Le domaine est l’ensemble des réels pour lesquels $f(x)$ est défini.

Expression	Contrainte	Domaine
$\sqrt{u(x)}$	$u(x) \geq 0$	Résoudre $u(x) \geq 0$
$\dfrac{1}{u(x)}$	$u(x) \neq 0$	Exclure les racines de $u$
Polynôme	Aucune	$\mathbb{R}$

Exemple : $f(x) = \sqrt{x - 2}$ → domaine : $x - 2 \geq 0$, soit $D = [2, +\infty[$

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Lecture graphique

Sur la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ :

• Image de $a$ : ordonnée du point de $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$
• Antécédents de $b$ : abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ d’ordonnée $b$
• Maximum : point le plus haut de la courbe (ou sur un intervalle)
• Minimum : point le plus bas

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Parité

• $f$ est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ → courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
• $f$ est impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ → courbe symétrique par rapport à l’origine

Exemples :

• $f(x) = x^2$ est paire : $f(-x) = (-x)^2 = x^2$
• $f(x) = x^3$ est impaire : $f(-x) = -x^3 = -f(x)$

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Sens de variation (graphique)

• $f$ est croissante sur $I$ si, pour $x_1 < x_2$ dans $I$, on a $f(x_1) < f(x_2)$
• $f$ est décroissante sur $I$ si, pour $x_1 < x_2$ dans $I$, on a $f(x_1) > f(x_2)$

Sur une courbe croissante, on monte de gauche à droite.