Nombres réels

L’ensemble des réels ℝ

Les nombres réels forment l’ensemble $\mathbb{R}$, qui contient :

• Les entiers : $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$
• Les rationnels : $\mathbb{Q}$ (fractions $\frac{p}{q}$)
• Les irrationnels : $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$, …

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

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Intervalles

Notation	Définition	Type
$[a, b]$	$a \leq x \leq b$	fermé
$]a, b[$	$a < x < b$	ouvert
$[a, b[$	$a \leq x < b$	semi-ouvert
$[a, +\infty[$	$x \geq a$	non borné
$]-\infty, b]$	$x \leq b$	non borné

Intersection et réunion :

$[1, 5] \cap [3, 7] = [3, 5] \qquad [1, 3] \cup [2, 5] = [1, 5]$

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Encadrement et arrondi

Un encadrement de $x$ à l’unité près : $n \leq x < n+1$ pour un entier $n$.

Exemple : $\sqrt{2} \approx 1{,}414\ldots$

$1{,}41 \leq \sqrt{2} \leq 1{,}42 \quad \text{(encadrement au centième)}$

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Valeur absolue

$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$

Interprétation géométrique : $|x - a|$ est la distance entre $x$ et $a$ sur la droite réelle.

Propriétés :

• $|x| \geq 0$ ; $|x| = 0 \iff x = 0$
• $|xy| = |x| \cdot |y|$
• $|x + y| \leq |x| + |y|$ (inégalité triangulaire)

Résolution de $|x - 3| \leq 2$ :

$|x - 3| \leq 2 \iff -2 \leq x - 3 \leq 2 \iff 1 \leq x \leq 5$

Solution : $x \in [1, 5]$.

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Comparaison de réels

Pour comparer $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$ ($a, b \geq 0$) : la fonction racine est croissante, donc $a < b \iff \sqrt{a} < \sqrt{b}$.

Exemple : Comparer $\sqrt{5}$ et $2{,}2$.

$2{,}2^2 = 4{,}84 < 5$, donc $2{,}2 < \sqrt{5}$.