Définition

Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue. Résoudre une inéquation, c’est trouver l’ensemble des valeurs de $x$ qui la vérifient.

Règles de manipulation

On peut :

Ajouter ou soustraire un même nombre des deux membres → le sens de l’inégalité est conservé
Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif → sens conservé
Multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif → sens inversé ⚠️

Règle clé : Si $a < b$ et $k < 0$ , alors $ka > kb$ .

Exemple 1 : $2x - 5 < 3$

$2x < 8 \implies x < 4$

Solution : $x \in ]-\infty, 4[$

Exemple 2 : $-3x + 1 \geq 7$

$-3x \geq 6 \implies x \leq -2 \quad \text{(division par } {-3} \text{, sens inversé)}$

Solution : $x \in ]-\infty, -2]$

Exemple : $\dfrac{x-1}{2} > \dfrac{x+3}{4}$

Multiplier par 4 (positif, sens conservé) :

$2(x-1) > x + 3 \implies 2x - 2 > x + 3 \implies x > 5$

Solution : $x \in ]5, +\infty[$

Pour étudier le signe d’un produit ou quotient, utiliser un tableau de signes.

Exemple : Résoudre $(x-1)(x+3) > 0$

$x$		$-3$		$1$
$x - 1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x + 3$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
Produit	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Solution : $x \in ]-\infty, -3[ \cup ]1, +\infty[$

Si l’on doit satisfaire deux inéquations simultanément (et) : prendre l’intersection $\cap$ .

Si l’on doit satisfaire au moins une (ou) : prendre la réunion $\cup$ .

Exemple : $x > 1$ et $x \leq 4$ → $x \in ]1, 4]$