Puissances entières

Pour $a \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$ :

$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}} \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)$

Cas particuliers : $a^0 = 1$ , $a^1 = a$ .

$a^m \times a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

$(a^m)^n = a^{mn} \qquad (ab)^n = a^n b^n$

Exemples :

$2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$

$\dfrac{3^5}{3^2} = 3^3 = 27$

$(2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3 = 8 \times 125 = 1000$

Puissances de 10 et notation scientifique

$10^3 = 1000 \qquad 10^{-2} = 0{,}01$

Un nombre en notation scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leq |a| < 10$ .

Exemple : $0{,}000045 = 4{,}5 \times 10^{-5}$

Pour $a \geq 0$ , $\sqrt{a}$ est l’unique réel positif dont le carré vaut $a$ :

$\left(\sqrt{a}\right)^2 = a \qquad \sqrt{a^2} = |a|$

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (b > 0)$

Exemples :

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \qquad \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$

On peut simplifier une fraction en divisant numérateur et dénominateur par leur PGCD.

Exemple : $\dfrac{18}{24} = \dfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = \dfrac{3}{4}$

Exemple : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{15}{12} = \dfrac{23}{12}$

Pour éliminer une racine au dénominateur :

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \frac{1}{a + \sqrt{b}} = \frac{a - \sqrt{b}}{a^2 - b}$

Exemple : $\dfrac{3}{2 + \sqrt{3}} = \dfrac{3(2 - \sqrt{3})}{(2)^2 - (\sqrt{3})^2} = \dfrac{3(2 - \sqrt{3})}{1} = 6 - 3\sqrt{3}$