Équations

Équation du premier degré

Une équation du premier degré à une inconnue $x$ est de la forme $ax + b = 0$ ($a \neq 0$).

Résolution :

$ax + b = 0 \implies ax = -b \implies x = -\frac{b}{a}$

Exemple : $3x - 7 = 2$

$3x = 9 \implies x = 3$

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Équations avec fractions

Méthode : Multiplier les deux membres par le dénominateur commun.

Exemple : $\dfrac{x+1}{3} = \dfrac{2x-1}{5}$

Multiplier par 15 :

$5(x+1) = 3(2x-1) \implies 5x + 5 = 6x - 3 \implies x = 8$

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Principe d’équivalence

On peut :

• Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres
• Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul

Ces opérations conservent l’ensemble des solutions.

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Équations-produits

Règle du produit nul : $AB = 0 \iff A = 0$ ou $B = 0$

Méthode : Développer si nécessaire, ramener à la forme $(\ldots)(\ldots) = 0$, résoudre chaque facteur.

Exemple : $(2x - 4)(x + 3) = 0$

$2x - 4 = 0 \implies x = 2 \qquad \text{ou} \qquad x + 3 = 0 \implies x = -3$

Solutions : $S = \{-3,\, 2\}$

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Équations avec valeur absolue

Exemple : $|2x - 1| = 5$

$2x - 1 = 5 \implies x = 3 \qquad \text{ou} \qquad 2x - 1 = -5 \implies x = -2$

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Vérification et ensemble solution

Toujours vérifier les solutions en les substituant dans l’équation initiale.

Exemple : Vérifier $x = 3$ dans $3x - 7 = 2$ :

$3 \times 3 - 7 = 9 - 7 = 2$ ✓

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Équation avec inconnue au dénominateur

Attention aux valeurs interdites (qui annulent un dénominateur).

Exemple : $\dfrac{x}{x-2} = \dfrac{3}{x-2} + 1$ avec $x \neq 2$

Multiplier par $(x-2)$ :

$x = 3 + (x-2) = x + 1$

Contradiction : $0 = 1$ → pas de solution.