Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle en $C$ :

$\boxed{AB^2 = AC^2 + BC^2}$

(hypoténuse $^2$ = somme des carrés des deux autres côtés)

Exemple : Triangle rectangle en $C$ avec $AC = 3$ et $BC = 4$ .

$AB = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Réciproque du théorème de Pythagore

Si $AB^2 = AC^2 + BC^2$ , alors le triangle est rectangle en $C$ .

Exemple : Triangle avec $AB = 10$ , $AC = 6$ , $BC = 8$ .

$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ → rectangle en $C$ .

Si $M$ est sur $[AB]$ et $N$ est sur $[AC]$ avec $(MN) \parallel (BC)$ , alors :

$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$

Exemple : $AB = 10$ , $AM = 4$ , $BC = 15$ .

$MN = \dfrac{AM}{AB} \times BC = \dfrac{4}{10} \times 15 = 6$

Si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ (et $M$ sur $[AB]$ , $N$ sur $[AC]$ ), alors $(MN) \parallel (BC)$ .

Si un triangle $A'B'C'$ est homothétique à $ABC$ de rapport $k$ :

$\frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{B'C'}{BC} = k$

Périmètre multiplié par $k$ , aire multipliée par $k^2$ .

Dans un triangle rectangle en $A$ , pour l’angle $\hat{B}$ :

$\cos\hat{B} = \frac{BA}{BC} \quad \sin\hat{B} = \frac{AC}{BC} \quad \tan\hat{B} = \frac{AC}{BA}$

SOH-CAH-TOA : sin = opposé/hypoténuse, cos = adjacent/hypoténuse, tan = opposé/adjacent