Angles

Angle aigu : $0° < \alpha < 90°$
Angle droit : $\alpha = 90°$
Angle obtus : $90° < \alpha < 180°$
Angle plat : $\alpha = 180°$

Angles supplémentaires : leur somme vaut $180°$ .

Angles complémentaires : leur somme vaut $90°$ .

Angles opposés par le sommet : égaux.

Triangles

Somme des angles

Dans tout triangle $ABC$ : $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$

Triangle isocèle

Deux côtés égaux → les deux angles à la base sont égaux.

Triangle équilatéral

Trois côtés égaux → trois angles de $60°$ chacun.

Triangle rectangle

Un angle droit → Théorème de Pythagore : $a^2 + b^2 = c^2$ (c = hypoténuse).

Droites parallèles et sécantes

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante :

Angles alternes-internes : égaux
Angles correspondants : égaux
Angles co-internes : supplémentaires (somme = $180°$ )

Théorème de Thalès

Si $(DE) \parallel (BC)$ dans le triangle $ABC$ :

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$

Réciproque : si $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ , alors $(DE) \parallel (BC)$ .

Exemple : $AD = 3$ , $DB = 2$ , $DE = 4{,}5$ . Trouver $BC$ .

$AB = 5$ , donc $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{3}{5}$ , ainsi $BC = \dfrac{4{,}5 \times 5}{3} = 7{,}5$ .

Quadrilatères

Quadrilatère	Propriétés
Carré	4 côtés égaux, 4 angles droits
Rectangle	4 angles droits, côtés opposés égaux
Losange	4 côtés égaux, diagonales perpendiculaires
Parallélogramme	Côtés opposés parallèles et égaux
Trapèze	Une paire de côtés parallèles

Médiatrice et bissectrice

Médiatrice d’un segment $[AB]$ : droite perpendiculaire en son milieu. Tout point de la médiatrice est équidistant de $A$ et $B$ .

Bissectrice d’un angle : demi-droite qui partage l’angle en deux angles égaux. Tout point de la bissectrice est équidistant des deux côtés de l’angle.

Exemple d’application

Énoncé — Dans le triangle $ABC$ , on sait que $\angle A = 50°$ et $\angle B = 65°$ . De plus, les points $D$ et $E$ sont sur $[AB]$ et $[AC]$ tels que $(DE) \parallel (BC)$ , avec $AD = 4$ cm, $DB = 6$ cm et $DE = 3$ cm.

1) Trouver $\angle C$ .

$\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 50° - 65° = 65°$

Le triangle $ABC$ est donc isocèle en $A$ (car $\angle B = \angle C = 65°$ ).

2) Calculer $BC$ avec le théorème de Thalès.

Puisque $(DE) \parallel (BC)$ :

$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$

$AB = AD + DB = 4 + 6 = 10$ cm, donc :

$\frac{4}{10} = \frac{3}{BC} \implies BC = \frac{3 \times 10}{4} = 7{,}5 \text{ cm}$

3) Calculer $AE$ et $EC$ .

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \implies \frac{4}{10} = \frac{AE}{AC}$

Or $ABC$ est isocèle en $A$ , donc $AC = AB = 10$ cm :

$AE = \frac{4 \times 10}{10} = 4 \text{ cm} \quad \text{et} \quad EC = 10 - 4 = 6 \text{ cm}$