Quiz Maths 4ème : Quadrilatères et Propriétés (Rectangle, Losange, Carré)

Introduction — Quadrilatères remarquables en 4ème

En 4ème, les quadrilatères remarquables occupent une place centrale en géométrie. Ces figures — parallélogramme, losange, rectangle et carré — se distinguent principalement par les propriétés de leurs diagonales et de leurs angles.

Comprendre ces propriétés permet de résoudre des problèmes de calcul de longueurs, d’angles et d’aires, et de démontrer qu’une figure est bien un losange ou un rectangle.

Ce que les diagonales révèlent

Figure	Diagonales égales ?	Diagonales perpendiculaires ?	Se coupent en leur milieu ?
Parallélogramme	✗	✗	✓
Rectangle	✓	✗	✓
Losange	✗	✓	✓
Carré	✓	✓	✓

Astuce : Le carré réunit toutes les propriétés. Il est à la fois un rectangle ($AC = BD$) et un losange ($(AC) \perp (BD)$).

Angles et côtés

Figure	Angles	Côtés
Parallélogramme	Opposés égaux, $\angle A + \angle B = 180°$	Opposés égaux et parallèles
Rectangle	$4$ angles droits : $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90°$	Opposés égaux
Losange	Opposés égaux	$AB = BC = CD = DA$
Carré	$4$ angles droits	$AB = BC = CD = DA$

Notation et propriétés clés

Dans un losange $ABCD$ de diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupant en $O$ :

$\widehat{AOB} = 90° \qquad OA = OC \qquad OB = OD$

Les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

Dans un rectangle $ABCD$ :

$AC = BD \qquad \text{et} \qquad OA = OB = OC = OD$

Chaque demi-diagonale est égale — ce qui permet de retrouver le centre du cercle circonscrit.

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Parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Propriétés :

• Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur : $AB = CD$ et $AB \parallel CD$
• Les angles opposés sont égaux : $\widehat{A} = \widehat{C}$ et $\widehat{B} = \widehat{D}$
• Les diagonales se coupent en leur milieu : $OA = OC$ et $OB = OD$
• $\widehat{A} + \widehat{B} = 180°$

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Cas particuliers

Rectangle

Parallélogramme avec quatre angles droits ($\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90°$).

Propriété clé des diagonales : $AC = BD$ (diagonales égales).

Réciproque : Si les diagonales d’un parallélogramme sont égales, c’est un rectangle.

Losange

Parallélogramme avec quatre côtés égaux : $AB = BC = CD = DA$.

Propriété clé des diagonales : $(AC) \perp (BD)$ (diagonales perpendiculaires) et chaque diagonale est bissectrice des angles en ses extrémités.

Aire : $A = \dfrac{d_1 \times d_2}{2}$ où $d_1 = AC$ et $d_2 = BD$.

Carré

Rectangle ET losange : $4$ angles droits + $4$ côtés égaux.

Diagonales égales et perpendiculaires : $AC = BD$ et $(AC) \perp (BD)$.

Pour un carré de côté $a$ : $d = a\sqrt{2}$ (par Pythagore).

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Trapèze

Un trapèze a exactement une paire de côtés parallèles.

Trapèze isocèle : les deux côtés non parallèles sont égaux → diagonales de même longueur.

Aire : $A = \dfrac{(a + b) \times h}{2}$ ($a$, $b$ = longueurs des bases, $h$ = hauteur)

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Polygones réguliers

Polygone	Côtés	Angle intérieur
Triangle équilatéral	3	$60°$
Carré	4	$90°$
Pentagone	5	$108°$
Hexagone	6	$120°$
$n$-gone	$n$	$\dfrac{(n-2) \times 180°}{n}$

Somme des angles d’un polygone à $n$ côtés : $(n-2) \times 180°$