Quadrilatères et polygones

Parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Propriétés :

• Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
• Les angles opposés sont égaux.
• Les diagonales se coupent en leur milieu.
• $\angle A + \angle B = 180°$

Caractérisations : ABCD est un parallélogramme si et seulement si :

• les diagonales ont le même milieu, OU
• $AB = CD$ et $AB \parallel CD$, OU
• $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

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Cas particuliers

Rectangle

Parallélogramme avec quatre angles droits.

Diagonales de même longueur.

Losange

Parallélogramme avec quatre côtés égaux.

Diagonales perpendiculaires entre elles.

Carré

Rectangle ET losange → 4 angles droits + 4 côtés égaux. Diagonales égales et perpendiculaires.

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Trapèze

Un trapèze a exactement une paire de côtés parallèles.

Trapèze isocèle : les deux côtés non parallèles sont égaux → diagonales de même longueur.

Aire d’un trapèze : $A = \dfrac{(a + b) \times h}{2}$ ($a$, $b$ = longueurs des bases, $h$ = hauteur)

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Polygones réguliers

Un polygone régulier a tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux.

Polygone	Côtés	Angle intérieur
Triangle équilatéral	3	$60°$
Carré	4	$90°$
Pentagone	5	$108°$
Hexagone	6	$120°$
$n$-gone	$n$	$\dfrac{(n-2) \times 180°}{n}$

Somme des angles d’un polygone à $n$ côtés : $(n-2) \times 180°$

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Médiane et hauteur d’un triangle

• Médiane : segment reliant un sommet au milieu du côté opposé. Les 3 médianes se coupent au centre de gravité (à $\frac{2}{3}$ de chaque médiane).
• Hauteur : perpendiculaire d’un sommet au côté opposé. Les 3 hauteurs se coupent à l’orthocentre.
• Médiatrice : les 3 médiatrices se coupent au circumcentre (centre du cercle circonscrit).
• Bissectrice : les 3 bissectrices se coupent à l’incentre (centre du cercle inscrit).