Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle en $A$ :

$\boxed{BC^2 = AB^2 + AC^2}$

( $BC$ est l’hypoténuse)

Exemple : $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm.

$BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$

Réciproque du théorème de Pythagore

Si $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

Exemple : $BC = 15$ , $AB = 9$ , $AC = 12$ .

$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$ → triangle rectangle en $A$ .

Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$ , alors le triangle $ABC$ n’est pas rectangle.

Si $(DE) \parallel (BC)$ dans le triangle $ABC$ ( $D \in [AB]$ , $E \in [AC]$ ) :

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$

Exemple : $AB = 10$ , $AD = 6$ , $BC = 15$ .

$\frac{AD}{AB} = \frac{6}{10} \implies DE = 15 \times \frac{6}{10} = 9$

Si $D \in [AB]$ , $E \in [AC]$ et $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ , alors $(DE) \parallel (BC)$ .

Exemple : $AD = 4$ , $AB = 6$ , $AE = 2$ , $AC = 3$ .

$\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}$ → $(DE) \parallel (BC)$ .

Calcul de distance inaccessible : en utilisant un point intermédiaire et Thalès.

Vérification de perpendicularité : triplet pythagoricien (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17).

Hauteur d’un triangle quelconque :

Dans un triangle $ABC$ , si $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ :

$AH^2 = AB^2 - BH^2 = AC^2 - HC^2$