Définitions

Expérience aléatoire : résultat imprévisible (lancer de dé, tirage de carte…)
Univers $\Omega$ : ensemble de tous les résultats possibles
Événement : sous-ensemble de $\Omega$

Probabilité d’un événement $A$ :

$P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables à } A}{\text{nombre de cas possibles}}$

(si tous les résultats sont équiprobables)

Propriétés

$0 \leq P(A) \leq 1$

$P(\Omega) = 1 \qquad P(\emptyset) = 0$

Événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Exemple : Dé à 6 faces. $A$ = “obtenir un nombre pair” = {2, 4, 6}.

$P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ ; $P(\bar{A}) = \dfrac{1}{2}$

Addition de probabilités

Événements incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ) :

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

En général :

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Tableaux à double entrée

Exemple : On tire une carte dans un jeu de 52 cartes.

	Cœur	Carreau	Pique	Trèfle	Total
As	1	1	1	1	4
Autres	12	12	12	12	48
Total	13	13	13	13	52

$P(\text{As}) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}$ ; $P(\text{Cœur}) = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}$

Arbres de probabilités

Exemple : Un sac contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire successivement 2 boules avec remise.

flowchart TD
    S["Sac : 3R, 2B"]
    S -->|"3/5"| R1["1ʳᵉ tirage : Rouge"]
    S -->|"2/5"| B1["1ʳᵉ tirage : Bleue"]
    R1 -->|"3/5"| RR["Rouge → P(RR) = 9/25"]
    R1 -->|"2/5"| RB["Bleue  → P(RB) = 6/25"]
    B1 -->|"3/5"| BR["Rouge → P(BR) = 6/25"]
    B1 -->|"2/5"| BB["Bleue  → P(BB) = 4/25"]

$P(RR) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}$

$P(\text{au moins un R}) = 1 - P(BB) = 1 - \dfrac{4}{25} = \dfrac{21}{25}$