Équation du premier degré

Une équation du type $ax + b = 0$ ( $a \neq 0$ ) a pour solution $x = -\dfrac{b}{a}$ .

Méthode : effectuer les mêmes opérations des deux côtés.

Exemple : $3x - 7 = 2x + 5$

$3x - 2x = 5 + 7 \implies x = 12$

Vérification : $3(12) - 7 = 29 = 2(12) + 5$ ✓

Équations avec fractions

Exemple : $\dfrac{x+1}{2} - \dfrac{x-3}{4} = 2$

Multiplier par $4$ (PPCM) :

$2(x+1) - (x-3) = 8 \implies 2x + 2 - x + 3 = 8 \implies x = 3$

Exemple : $(2x-1)(x+3) = 2x^2 + 7$

$2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 7 \implies 5x - 3 = 7 \implies x = 2$

Exemple : “Un rectangle a une longueur double de sa largeur. Son périmètre est $36$ cm.”

Soit $x$ la largeur. Longueur $= 2x$ .

$2(x + 2x) = 36 \implies 6x = 36 \implies x = 6$

Largeur $= 6$ cm, longueur $= 12$ cm.

On résout comme une équation, en renversant le sens de l’inégalité si on multiplie ou divise par un nombre négatif.

Exemple : $-2x + 3 > 7$

$-2x > 4 \implies x < -2$

Notation : $x \in ]-\infty ; -2[$

$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Méthode par substitution : $y = x - 2$ → $2x + (x-2) = 7$ → $3x = 9$ → $x = 3$ , $y = 1$ .

Méthode par addition : additionner les deux équations : $3x = 9$ → $x = 3$ .